什麼是直言三段論
從上古的亞里士多德邏輯學，到隨後幾個世紀的其他邏輯學派，人們提出了很多方法來分析我們普遍稱為「三段論」的演繹論證。一個三段論是包含兩個前提的演繹論證。一個直言三段論是完全由直言命題構成的三段論。因此三段論式的論證有各種不同的類型，其中有些我們已經在第5章和第12章涉及過。在本章中，我們將詳細地分析直言三段論，為簡便起見，此後統稱為 「三段論」。例如：
例14-1 1.所有長方形都是多邊形。
2. 所有正方形都是長方形。
3. 所有正方形都是多邊形。
論證例14-1是一個三段論，因為它有兩個前提和一個結論，並且這三個命題都是直言命題。仔細分析論證例14-1的前提和結論，我們會發現在主項或謂項的位置上恰好有三個詞項：「長方形」、 「多邊形」和「正方形」。其中每一個詞項都表述了一個範疇（或種類）的事物，這些範疇之間的互相關聯使得我們能夠從前提有效地推出結論。依據該結論，正方形的種類被完全包含在多邊形的種類中，只要論證例14-1的前提是真的，這個結論就一定是真的。這是一個有效的演繹論證：結論被前提所蘊涵。但是有些三段論可能是無效的。當一個三段論滿足了演繹有效性的標準時，蘊涵取決於三個不同類型的詞項間的關係，這些詞項是作為組成該三段論的直言命題的主項或謂項而出現的。由於一個論證的有效性取決於其是否具有有效的形式，人們提出了幾種方法來確定在什麼時候三段論具有這樣的形式。但在介紹這些方法之前，我們需要對標準三段論的結構做更多的介紹。
三段論的詞項
一個標準的三段論由三個直言命題構成，其中兩個是前提，一個是結論。每一個直言命題都有一個主項和一個謂項，分別表述兩個種類的事物；而整個命題則表述了其主項和謂項之間的某種排除或包含的關係。我們對上述構成論證例14-1的每個直言命題的觀察，表明了該論證的成員命題共有三個不同類型的主項和謂項：「多邊形」、「正方形」和「長方形」。事實上，這是所有直言三段論共有的特徵，因為它們都有三個不同類型的詞項，即所謂的大項、小項和中項。大項是結論的謂項，小項是結論的主項，中項是只在前提中出現的詞項。再來看論證例14-1。
例14-1 1.所有長方形都是多邊形。
2. 所有正方形都是長方形。
3. 所有正方形都是多邊形。
根據論證例14-1的結論的謂項和主項，我們得知這個三段論的大項和小項分別為 「多邊形」（結論的謂項）和「正方形」（結論的主項）。請注意這兩個詞項也都在前提中出現，但是這對它們作為大項和小項的狀態沒有影響：一個詞項作為大項還是小項，完全是由它作為結論的謂項或主項所決定的。在論證例14-1中，還有一個詞項「長方形」，它出現在前提的主項和謂項的位置。這就是「中項」。之所以如此稱謂，是因為它的功能是在兩個前提間起到中介的作用──把兩個前提連接起來，從而使得它們都在表述同一類事物。在任何三段論中，中項在兩個前提中都出現，但不出現在結論中。需要注意的另一點是：雖然論證例14-1的三個詞項都是一個獨詞，但這並不是所有三段論的共性，因為有時候短語也能作為一個直言命題的主項和謂項。
下面我們來確定論證例14-2中的大項、小項和中項。
例14-2 1.沒有軍官是和平主義者。
2.所有的陸軍中校是軍官。
3.沒有陸軍中校是和平主義者。
根據上述規則，我們得知：大項是「和平主義者」，小項是「陸軍中校」，中項是「軍官」。
專欄14-1 一個三段論的詞項
重要的是要記住：為了確定一個直言三段論詞項的三個詞或短語，我們首先需要檢查三段論的結論。大項是出現在結論謂項位置（即在系動詞後面）的任何詞或短語。小項是出現在結論主項位置（即在量詞和系動詞之間）的任何詞或短語。中項是完全沒有在結論中出現，但在兩個前提中都出現的詞項──無論其是一個獨詞（如論證例14-1的中項），還是一個更加複雜的表達式（如論證例14-2的中項）。
三段論的前提
論證例14-1的結論是如下命題：
3. 所有正方形都是多邊形。
用傳統邏輯的表示法，上述命題可以被符號化為：
3a. 所有S都是P。
通常的做法是把一個直言三段論的小項和大項分別表示為「S」和「P」，而把中項表示為「M」。我們也將沿用這個做法，並用這些符號替代任何一個直言三段論的三個詞項，而保留量詞和否定詞等邏輯詞。對於上述的論證例14-1，我們可以得到：
例14-1a 1.所有M都是P。
2.所有S都是M。
3.所有S都是P。
在一個標準的三段論中，小項和大項出現在不同的前提中。包含大項的前提是「大前提」。因為論證例14-1的大項是「多邊形」，所以它的大前提是：
1. 所有長方形都是多邊形。
這個命題可以被符號化為：
1a.所有M都是P。
包含小項的前提是小前提。因為論證例14-1的小項是「正方形」，所以它的小前提是：
2. 所有正方形都是長方形。
這個命題可以被符號化為：
2a. 所有S都是M。
讀者可能已經注意到，在上述兩個三段論的例子中，大前提都最先出現，然後是小前提，最後是結論。這是一個經過重構的三段論的標準順序。雖然在日常話語或寫作中，一個三段論的前提和結論可以使用任何順序，但當我們重構它時，前提必須按照標準的順序放置（這在以後將變得特別重要）。現在我們可以確定在論證例14-1中，哪一個前提是大前提，哪一個前提是小前提：
例14-1a 1.所有M都是P。 大前提
2.所有S都是M。 小前提
3.所有S都是P。
識別三段論
無論直言三段論在現實生活中以何種順序出現，都可以通過首先確定其結論來識別。一旦我們確定了一個假定的三段論的結論，我們就可以檢驗它是否確實是一個三段論：結論的謂項作為大項，主項作為小項。在確定了這兩個詞項之後，我們接著查看論證的前提並詢問：哪一個前提包含大項（即為大前提）？哪一個前提包含小項（即為小前提）？用標準順序將這兩個前提分別列為前提1和前提2之後，將相應的詞項用符號代替，我們就可以確認該論證是不是一個三段論。這是怎麼做到的？通過應用專欄14-2中的規則。
專欄14-2 直言三段論
作為一個合格的直言三段論，一個論證必須有三個直言命題，以及三個詞項恰好出現在主項或謂項的位置，並且每一個詞項出現兩次。
請考慮如下論證：
例14-3 所有的省長都是公務人員。因此，有些公務人員是省長。
論證例14-3不是一個三段論，因為詞項和前提的數量都不夠。
請比較如下論證：
例14-4 由於沒有蠑螈是夜行動物，沒有蠑螈是蝙蝠。因為所有的蝙蝠都是夜行動物。
論證例14-4是一個三段論嗎？它由兩個句子組成，而要成為一個合格的三段論，它必須有兩個前提和一個結論。但我們通過仔細查看這兩個句子會發現，它們的確表達了三個直言命題。現在我們必須確認哪一個命題是結論。雖然沒有結論指示詞，但是第一個命題和第三個命題的開頭分別有前提指示詞「由於」和「因為」，它們可以幫助我們確認該論證的前提，從而確定其結論，它是：
沒有蠑螈是蝙蝠。
從這個結論，我們可以馬上得出「蝙蝠」（結論的謂項）是大項「P」， 「蠑螈」（結論的主項）是小項「S」。這使得我們能夠進一步確定大前提，即包含大項「蝙蝠」的前提：
所有蝙蝠都是夜行動物。
該三段論的小前提，即包含小項「蠑螈」的前提：
沒有蠑螈是夜行動物。
接著，我們顯然可以得到中項，即「夜行動物」，這是因為它是唯一一個出現在兩個前提中的相關類型的詞項。現在，我們可以用標準順序重構該論證：
例14-4a 1.所有蝙蝠都是夜行動物。
2.沒有蠑螈是夜行動物。
3.沒有蠑螈是蝙蝠。
專欄14-3 直言三段論的構造模塊
一個直言三段論（簡稱為三段論）：
（1）由三個直言命題構成；
（2）有三個詞項，每一個都在論證中出現兩次。
一個三段論的三個詞項為：
名稱 邏輯功能 符號
（1）大項和小項在前提中的出現決定了前提的名稱和順序。
（2）一個三段論的兩個前提為
如前面所述，當小項、大項和中項被「S」、「P」和「M」代替後，我們將得到以下模式：
例14-4b 1.所有P都是M。
2.沒有S是M。
3.沒有S是P。
這是三段論的許多可能的模式之一。有些模式是有效的，而其他的則是無效的。在開始介紹一些用於確定哪些模式有效、哪些模式無效的方法之前，讓我們更加仔細地瞭解這種三段論式的論證模式。
三段論式的論證形式
傳統上，三段論被認為具有某種形式，這些形式由三段論的格與式來確定的。我們將從格開始分析。
格
因為一個三段論有三個詞項（大項、小項和中項），其中每一個詞項都在主項或謂項的位置出現兩次，所以任何此類論證都有四種可能的「格」或詞項配置，如表14-1所示。
其中，每一種格都表示按照標準順序排列的三段論的前提和結論（不考慮量詞和系動詞）。它們之間最大的不同點在於中項在前提中兩次出現的位置。因此，中項在前提中的配置決定了任何一個三段論的格。我們可以通過只呈現每一個格的中項來強調這點，如表14-2所示。
因此，確認任何三段論的格是一件很簡單的事情：一旦我們辨認出它的中項，我們就可以觀察它是否在相應的主項或謂項的位置上出現，然後檢查它屬於哪一個格。這樣，我們可以確定論證例14-1和例14-2屬於第一格，而論證例14-4屬於第二格。通過這個方法，我們可以確定任何三段論的格。
考慮下面的例子：
例14-5 因為有些鯊魚是海魚，並且沒有河生動物是海魚，所以有些鯊魚不是河生動物。
首先，我們辨認這個論證的結論，即：
有些鯊魚不是河生動物。
因為我們現在知道「鯊魚」是小項，「河生動物」是大項，所以我們可以繼續辨認這個三段論的大前提和小前提，並且把它重構成如下形式：
例14-5a 1.沒有河生動物是海魚。
2.有些鯊魚是海魚。
3.有些鯊魚不是河生動物。
用符號替換相關的詞項，可以得到論證例14-5a的形式：
例14-5b 1.沒有P是M。
2.某些S是M。
3.某些S不是P。
當不考慮量詞和系動詞時，我們觀察中項在每一個前提中出現的位置，就可以輕鬆地確定該三段論屬於第二格。
專欄14-4 如何確定一個三段論的格
（1）只關注中項作為主項或謂項在前提中的出現。
（2）結論總是以小項作為主項，以大項作為謂項。結論的謂項和主項決定了任一三段論中什麼是大項和小項。
（3）「P」表示大項，在前提1（即包含大項的大前提）中出現。
（4）「S」表示小項，在前提2（即包含小項的小前提）中出現。
式
怎麼樣確定一個三段論的式呢？正如我們所見，一個三段論由三個直言命題構成：兩個組成前提，一個作為結論。並且，所有直言命題必須是下列四種類型中的一種：全稱肯定、全稱否定、特稱肯定或特稱否定，它們的名稱（正如我們在第13章所示）分別為A、E、I和O。
一個三段論的式是其三個成員命題的名稱列表。
在上述論證例14-5b中，大前提的類型是E，小前提的類型是I，結論的類型是O，因而它的式是EIO。在上面的其他例子中，論證例14-1的式是AAA、論證例14-2的式是EAE，論證例14-4 的式是AEE。現在考慮下面這個論證的形式：
例14-6 1.某些P是M。
2.某些M是S。
3.某些S不是P。
在論證例14-6中，兩個前提的類型均為I，結論的類型是O，因此論證例14-6的式為IIO（第四格）。那麼下面這個論證呢？
例14-7 1.沒有P是M。
2.沒有S是M。
3.某些S是P。
因為論證例14-7的前提類型是E，結論的類型為I，所以它的式為EEI。同時，根據論證例14-7的中項的位置，該論證屬於第二格。
確定三段論的形式
因此，綜合論證例14-7的式和格，我們得到EEI-2。因為一個三段論的式和格構成了它的形式，所以我們可以等價地說論證例14-7的形式是EEI-2。論證例14-6的形式是IIO-4，以此類推。因此，三段論的形式是通過其式和格的組合而給出的。
在傳統邏輯中，確定三段論的形式對確立它們的有效性十分關鍵，因為判斷一個三段論是遵循還是違背特定有效性規則的依據正是它所具有的形式，關於有效性規則我們會在後文提到。但是，在這之前，讓我們先回顧一下目前為止所介紹的步驟。
式 + 格 = 形式
我們嘗試從頭開始確認三段論形式的整體過程。請考慮如下論證：
例14-8 沒有無線局域網的學校公寓不是居住的合適場所。畢竟有些沒有無線局域網的學校公寓是老建築，但是有些老建築不是居住的合適場所。
論證14-8的結論是：
沒有無線局域網的學校公寓不是居住的合適場所。
我們怎麼知道的？因為我們仔細地分析了這個論證並且問自己：我們要做出什麼斷言？（另外，前提通過一個指示詞「畢竟」給出）在找到這個結論之後，我們分別尋找它的謂項和主項，它們分別為大項和小項：
P = 「居住的合適場所」
S = 「沒有無線局域網的學校公寓」
現在我們可以辨認這個三段論的大前提和小前提。因為大前提必須包含大項，它一定是：
有些老建築不是居住的合適場所。
所以我們可以把它放在第一個前提的位置。同樣地，小前提必須包含小項，因此它一定是：
有些沒有無線局域網的學校公寓是老建築。
這是第二個前提。因而被重構的三段論是：
例14-9 1.有些老建築不是居住的合適場所。
2. 有些沒有無線局域網的學校公寓是老建築。
3. 沒有無線局域網的學校公寓不是居住的合適場所。
論證例14-9例示了下面的模式：
例14-9a 1.某些M不是P。
2. 某些S是M。
3. 沒有S是P。
任何符合該模式的三段論都有OIE-1的形式。例如：
例14-10 1.有些中央情報局特工不是聯邦調查局特工。
2. 有些女性是中央情報局特工。
3. 沒有女性是聯邦調查局特工。
論證例14-10出錯了，並且任何與上述論證例14-9有相同模式的三段論都是錯誤的。很明顯，任何此類三段論都有真前提和假結論。接下來我們要分析哪些三段論的模式是有效的，哪些不是有效的。
用文恩圖檢驗有效性
三段論的詞項配置可能產生256個不同的形式。因為其中有些是有效式，有些不是，有某個可靠的方法來確定任何給定三段論的形式是否有效就顯得至關重要。實際上，有很多不同的方式可以檢驗有效性，但此處我們只重點介紹一種被廣泛接受的基於文恩圖的方法，其基礎知識已在第13章有所介紹。
如何圖示一個標準三段論
在使用文恩圖檢驗三段論的有效性時，我們把直言命題的二圓圖修改為一個更大的三圓圖。如圖14-1所示。
圖 14-1
這裡的圓代表了三段論三個詞項所表述的三類不同的事物。下方被標為「S」和「P」的兩個圓是三段論小項和大項表述的類。
專欄14-5 有效性和文恩圖
所有三段論都可以用文恩圖來檢驗有效性，從圖14-1所示的三個相交的圓開始。文恩圖一完成，就能明確該三段論是否是有效式。
上方被標記為「M」的圓表示的是三段論中項所指謂的類。現在要注意這個圖的另一點：在這個圖中我們可以找到兩個重要的子類空間圖形，這是整個圖中非常關鍵的部分。對此我們已經在第13章的二圓圖中有所接觸。它們就是圖14-2的橄欖球形狀和圖14-3的月牙形狀。
圖 14-2圖 14-3 在三圓文恩圖中，有三個橄欖球形狀。你能找到在哪裡嗎？還有六個月牙形狀，你能找出來嗎？為了在三圓文恩圖中打上陰影或標上字母，我們只對橄欖球或月牙形狀進行處理。如果給其他形狀打上陰影或標上字母，你用的就不是文恩圖系統。
最後要注意，在三圓文恩圖中，有三種不同的方法對圓進行組對。
這三種組合分別標誌著三段論的三個命題所代表的論域：M和P被用來圖示三段論的「大前提」，M和S圖示「小前提」，S和P圖示「結論」，如圖14-4所示。此外，我們使用三圓文恩圖的目的是檢測三段論的有效性。我們需要使用第13章中關於四類直言命題的文恩圖的知識，一次性通過兩個圓來圖示命題。想要完成文恩圖，我們每次都需考慮代表大前提、小前提和結論的成對的圓。每種情況下都要忽略與當前論證無關的圓。為明確如何正確畫出文恩圖，我們舉一個三段論的例子。
圖 14-4
例14-11 1.沒有詩人是憤世嫉俗者。
2.所有的警探都是詩人。
3.沒有警探是憤世嫉俗者。
快速考察這個按照標準順序排列的三段論，論證分析的第一步驟已經完成。隨後我們可知其大項是「憤世嫉俗者」，小項是「警探」，中項是「詩人」，因此該論證是EAE-1式的一個實例。下面將例14-11抽像成符號公式以詳細說明EAE-1式。
例14-11a 1.沒有M是P。
2.所有S是M 。
3.沒有S是P。
現在來看，該三段論形式是有效的還是無效的呢？一個文恩表就能檢測其有效性。首先要遵循的檢測規則如下：
先圖示三段論前提，而不是結論。
因此在該階段我們只關注各由兩個圓所組成的兩個集合。其中一個集合被用來表示大前提（見圖14-5），另一個表示小前提（見圖14-6）。
圖 14-5圖 14-6 那麼我們應該先圖示哪個前提呢？下面將介紹操作規則，具體原理如下：
如果三段論的兩個前提是由全稱前提和特稱前提構成，無論其具體內容如何，都要首先圖示全稱前提。但如果兩個前提都是全稱前提或者都是特稱前提，那麼先圖示哪個前提並不重要。
在論證例14-11a中，兩個前提都是全稱前提，因此首先圖示哪個前提並不重要。隨意選擇一個作為大前提，比如「沒有S是P」形式的E命題。前文圖示方法如圖14-7所示。
圖 14-7
如果想在更大的圖中利用上述相交的圓，那麼就如圖14-8所示。
這是大前提。小前提又該如何呢？論證例14-11a中的小前提是一個A命題，我們可以用兩個圓組成的文恩圖表示，如圖14-9所示。
圖 14-8
圖 14-9
如果圖14-9表示的是小前提，那麼，表達論證的圖如圖14-10所示。
圖 14-10
如此，圖中包含了全部前提，這個文恩圖是完整的了，我們不需要再加入任何標誌。最後一個步驟：暫不討論代表中項的圓，仔細觀察標誌三段論結論的幾個圓後，想一想圖中是否包含了代表結論的直言命題的二圓文恩圖？如果是，那麼文恩圖說明了該論證形式是有效的，反之無效。因為論證例14-11a中的結論「沒有S是P」是一個E命題，其文恩圖與圖14-7相同。觀察圖14-10可知，S和P重疊的呈橄欖球形狀的部分確實已被打上陰影。由此文恩圖證明了論證例14-11a即EAE-1式的有效性。任何具有該形式的三段論同樣有效。規則如下：
如果在畫三段論的兩個前提時，結論在文恩圖中得到自然地呈現，那麼論證是有效的。如果圖中並不包含結論，那麼該三段論無效。
現在讓我們使用文恩圖來測試另一個三段論：
例14-12 1.有些保守派是公眾人物。
2.所有的政治家都是公眾人物。
3.有些政治家是保守派。
這又是一個按照標準順序排列的三段論，分析的第一步已完成。由於論證是按照標準的順序放置，可知三段論的大項是「保守派」，小項是「政治家」，中項是「公眾人物」。論證例14-12a的模式如下：
例14-12a 1.某些P是M。
2.所有S是M。
3.某些S是P。
該模式是IAI-2。為了檢測該模式下的三段論的有效性，我們來構造一個文恩圖。上文提到，當我們僅僅圖示前提（不包括結論）時，會發現圖示論證兩個前提的次序是很重要的。原因是該三段論中的兩個前提一個是全稱前提，另一個是特稱前提。必須先圖示全稱前提，然後再圖示特稱前提。就該三段論而言，我們不得不先圖示小前提，再圖示大前提。小前提是一個A命題，在文恩圖中表示如圖14-11所示。
圖 14-11
然後，再畫三段論的大前提，I命題，如圖14-12所示。
圖 14-12
I命題的文恩圖如圖14-13所示。
圖 14-13
類似地，該三段論大前提的文恩圖如圖14-14所示。
圖 14-14
但為什麼圖14-12中的「x」被標在M和P相交的橄欖球形區域裡的線上？顯然如果我們將「x」放入橄欖球區域，這意味至少是存在M是P。而我們仍需要決定把「x」放在交界線的哪一側。如果橄欖球區有一側的區域被打上陰影，那麼「x」應該加在非陰影區域。但問題是兩側都沒有被打上陰影，因此無法判斷「x」應該加在哪一側。我們所知道的僅僅是「x」應該加在橄欖球區的某個位置，所以，通過把「x」放在橄欖球區的交界線上，以表明它屬於該區域，卻未明確說明到底屬於哪一側（當然x並不總是標在交界線上，只是此處如此）。
現在讓我們觀察圖14-12，看看形如例14-12這樣的IAI-2的有效性如何。該論證的結論是「某些S是P」，只有當結論從文恩圖的兩個前提中得到自然地呈現時，該形式才被證明是有效的。作為結論的I命題，當且僅當成對的圓表明了存在處於S和P的重疊區的「x」時，其形式才是有效的。事實上，我們從圖中無法得出結論。在圖14-12中，S和P重疊的橄欖球區部分被打上陰影，「x」在圓S的邊界上。因為並不能確定是否存在這樣的「x」於橄欖球狀內，然而這就足以讓我們通過文恩圖斷定IAI-2是無效式。這裡完成兩個前提的圖解後，結論無法在文恩圖的底部得到自然地呈現。因此IAI-2是無效的，而所有IAI-2式的三段論也都是無效的。我們已經證明，無論構成這個論證的命題的真值如何（該例中它們都是真的），其結論並不能有效地從前提導出。
專欄14-6 如何理解文恩圖的結果
使用文恩圖檢驗三段論的有效性，我們需要首先圖示三段論的前提，然後檢驗是否能從圖中已有的前提圖解自然地呈現結論。如果是，那麼該三段論有效，反之無效。
最後讓我們使用文恩圖來檢驗OIE-1式三段論的有效性。比如，將上文論證例14-9符號化為如下形式：
例14-9a 1.某些M不是P。
2.某些S是M。
3.沒有S是P。
因為兩個前提都是特稱前提，所以先圖示哪個前提無關緊要。我們先圖示小前提，如圖14-15所示。
增加大前提，如圖14-16所示。
圖 14-15圖 14-16 大前提的圖解表明存在這樣的「x」，在圓M內而不在P內。如圖14-17所示。
當用三圓圖代表前提時，如圖14-18所示。
圖 14-17圖 14-18 為什麼會得到這樣的圖呢？因為在圖14-18中，代表命題「某些M不是P」的「x」所在的月牙形區域，被S和M的交界線分隔開，其兩側都未打上陰影。一旦新月狀的一側被打上陰影，「x」應標在另一側。但是該新月狀內部沒有陰影，因此如果我們要在內部標上「x」，就必須把「x」放在分割月牙的交界線上，以表明我們並不明確「x」應屬於交界線的哪一側。考慮到代表「不是P的M·」的月牙圖被分界線分割開來，因此並不容易決定「x」屬於分界線的哪一邊。
現在我們已完成文恩圖，接下來驗證有效性。我們把論證的結論和代表結論部分的文恩圖相匹配，結果是怎樣的呢？顯然，在該論證中二者是不匹配的，原因在於論證的結論是一個E命題──「某些S是P」。任何一個命題的正確文恩圖表明，S和P的交叉部分應是打上陰影的（見圖14-7），但圖14-18並不是如此圖示命題的。因此這是個關於兩個前提的圖解過程無法自然地推導出底部二圓所代表的結論圖解的實例。該文恩圖可證明OIE-1式三段論是無效的。同理推導論證14-9是無效的。
專欄14-7 本節小結
如何使用文恩圖檢驗三段論的有效性：
畫三個交叉的圓。
首要圖示前提。
（1）如果一個前提是全稱前提，另一個前提是特稱前提，無論其大小前提都要首先圖示全稱前提。
（2）但如果兩個前提都是全稱前提或者都是特稱前提，那麼先圖示哪個前提並不重要。
完成圖示前提之後，如果文恩圖已明確圖示結論，那麼論證是有效的，反之無效。
項的周延
雖然文恩圖已經為我們提供了一種檢查三段論形式有效性的可靠方法，但它並不是唯一的辦法。另一種方法依賴的是有效三段論必須遵守的幾條規則以及力求避免的幾個謬誤。在本章剩餘部分，我們如何講解在亞里士多德傳統邏輯基礎上考察該技術的一些細節。
為了使用這個方法，首先需要弄懂項的周延概念。
在前文中，「項」的一個詞義是指稱直言命題的具有實義部分。命題的主項和謂項都是它的項。「周延」一詞可以指稱一類事物的全體。肯定全稱命題的周延模式如下：
A命題=主項周延+謂項不周延
例14-13 所有橘子都是柑橘類水果。
因此，在例14-13中，主項「橘子」是周延的，這是因為首個詞項「所有」顯然是指稱橘子類的所有元素。而謂項「柑橘類水果」並不是周延的，因為該句中沒有任何全稱詞彙指稱柑橘類的所有元素。
否定全稱命題的周延模式如下：
E命題=主項周延+謂項周延
例14-14 沒有蘋果是柑橘類水果。
如在第13章所示，論證例14-14邏輯上等價於例14-14a。
例14-14a 沒有柑橘類水果是蘋果。
無論是哪種表達方式，這兩個命題都否定了蘋果類的所有元素屬於柑橘類水果，同時也否認了柑橘類水果的所有元素屬於蘋果。換一種角度，論證例14-14斷言了蘋果類與柑橘類水果的全部元素之間所有的相互關係的結論。顯然，論證例14-14的主項和謂項都是周延的。該例中我們闡述了類的所有元素（即兩類相互排斥對方）。
現在讓我們關注特稱命題的周延模式。其一是肯定特稱命題，例如：
例14-15 有些橘子是可食用的水果。
其二，否定特稱命題形式如下：
例14-16 有些橘子不是可食用的水果。
任何肯定特稱命題的周延模式如下：
I命題=主項不周延+謂項不周延
任何否定特稱命題的周延模式如下：
O命題=主項不周延+謂項周延
論證例14-15相當於至少存在一個橘子是可食用的水果。該命題的主項是非周延的，原因在於詞項「有些水果」並不指稱橘子類裡的所有元素。同理，謂項「可食用的水果」也是不周延的，原因在於，該詞項並不指稱可食用水果類裡的全部元素，而指稱可食用水果類中是橘子的部分。
最後，雖然從論證例14-15的主項可推出論證例14-16的主項同樣不周延，但論證例14-16的謂項卻是周延的。為什麼呢？原因在於該謂項指稱的是作為整體的可食用類水果。這是很顯然的，論證例14-16被重構為這樣一個命題：至少存在一個不屬於可食用類水果（作為整體而言）的橘子。即可食用水果一類的全體排除這樣的一個橘子。
綜上所述，周延的四種模式如下：
A （肯定全稱）所有S是P主項周延，謂項不周延 E （否定全稱）沒有S是P主項周延，謂項周延 I （肯定特稱）有S是P主項不周延，謂項不周延 O （否定特稱）有S不是P主項不周延，謂項周延請記住上文及下圖的周延模式，這些將使你更輕鬆地運用有效性規則去檢驗三段論式的論證形式是否有效，如圖14-19所示。
圖 14-19
有效性規則及三段論謬誤
本節我們來關注可應用於檢驗任何給定的直言命題有效性的六條規則。
專欄14-8 通過這六條規則判定有效性
任何遵守所有這六條規則的三段論都是有效的。
任何違背其中一條的三段論都是無效的，當然一些三段論可以違背多條規則。
同時，當這些規則被打破時，我們也要考察所犯下的謬誤類型。下文我們將談到在亞里士多德邏輯中首個被提出來的規則。這些規則整體可以被看作一個可替換文恩圖來檢測三段論有效性的處理過程。首先讓我們分別考慮這些規則及其基本原理。
規則1：一個三段論必須僅包含意義明確的三項。
三段論的結論是其中兩個詞項以某種關聯相聯繫的直言命題。但當且僅當只有存在第三個詞項同時分別聯繫著結論中的主項和謂項時，這二者才有關聯。這就是說，如果一個三段論想要從兩個前提有效地推出結論，就必須明晰地包含三項。這三項不能多也不能少，而且每一項需在三段論中出現兩次：其中大項作為結論的謂項和大前提的主項或謂項出現；小項作為結論的主項和小前提的主項或謂項出現；中項在兩前提中各出現一次，通常作它的主項或謂項。
但有時，有的三段論的詞項在兩個位置上有著不同的含義，如此會破壞有效性規則。而這樣的論證是模稜兩可的。任何犯了這樣錯誤的論證都被稱為「四項謬誤」。考慮如下：
例14-17 1.所有委員會的成員都是陰險之人（snake）。
2.所有的蛇（snake）都是爬行動物。
3.所有委員會的成員都是爬行動物。
顯然，詞項「snake」以兩種不同的意義被使用。這導致該三段論犯了四項謬誤。因此它也是無效的。
規則2：中項至少周延一次。
回顧上文，一個三段論的中項是只會出現在兩個前提位置的詞項。它在連接大項和小項時發揮作用，因此結論中的大項和小項才有了關聯。但是中項只有在至少一次在前提中指稱類的全部對像時，才能發揮作用。如果中項僅僅在大前提中指稱類的部分對象，而在小前提中指稱類的另一部分對象，那麼大項和小項分別與中項的不同部分發生了聯繫，從而導致二者不必然相關聯。由此導致大項和小項之間的關聯並不足以支撐三段論的結論。任何犯了中項不周延謬誤的三段論都是無效的，正如下面這個論證，同樣也是無效的：
例14-18 1.所有野生鴿子都是有羽毛的鳥類。
2.有些有羽毛的鳥類是分散攻擊類動物。
3.有些分散攻擊類動物是野生鴿子。
規則3：在結論中周延的項在前提出現的位置上也必須周延。
上文我們曾說過，論證有效性的一個標誌是它的結論必須能從前提邏輯地推導出來。但如果論證的結論比前提斷定了更多的東西，那麼論證就是無效的。三段論作為一個演繹性論證而言，當它的結論所表達的內容遠超出前提所表達的內容時，必然是無效的。即三段論中的小項或大項在結論中是周延的（指稱類的全部元素），但在前提中出現時卻是不周延的（僅指稱類的部分元素）。犯了不當周延謬誤的三段論，可能是大項超出了前提，也可能是小項超出了前提，所以該謬誤有如下兩種表現形式，如圖14-20所示。
圖 14-20
例14-19 1.所有的老虎都是貓科動物。
2.沒有獅子是老虎。
3.沒有獅子是貓科動物。
論證例14-19的結論中的詞項「貓科動物」，指稱所有類的貓科動物，即可以說所有獅子都在貓科動物之外。但前提1並沒有斷言所有貓科動物，因為這裡的「貓科動物」一詞是不周延的。該論證所犯的謬誤是「大項的非法周延」（簡稱「非法大項」）。
考察下面的例子：
例14-20 1.所有的人體炸彈襲擊者都是自願去赴死的人。
2.所有的人體炸彈襲擊者都是當今現狀的反對者。
3.所有當今現狀的反對者都是自願去赴死的人。
論證例14-20結論中詞項「當今現狀的反對者」涵括了某類較特殊的人的全部。即可以說大項所指稱的類包含了詞項「當今現狀的反對者」。但前提2並沒有包括全部類的人，因為詞項「當今現狀的反對者」是A命題的謂項，自然是不周延的。該論證所犯的謬誤是「小項的非法周延」（簡稱「非法小項」）。
最後，一個論證也是有可能同時犯下這兩個謬誤的。此外，因為在I類命題中沒有周延的詞項，所以任何結論是I類命題的三段論都不需要遵守規則3。但如果結論是A、E或O命題，那麼它一定包含周延的項。而具有邏輯思維能力的人將會核實結論中周延的詞項也在相應的前提中周延。
規則4：一個有效的三段論不可以有兩個否定前提。
如果一個三段論的大前提是否定的，那麼它的中項和大項所代指的類，或部分或全部是相互排斥的。同理，如果三段論的小前提是否定的，那麼中項和小項所指代的類，同樣是或部分或全部相互排斥。由於小項和大項所指稱的類之間的關係是不明確的，所以前提無法有效地推出結論。這種情況下，該論證犯了所謂的「排斥前項謬誤」。
例14-21 1.沒有蕨類植物是樹木科。
2.一些榆樹不是蕨類植物。
3.一些榆樹不是樹木科。
規則4的要點在於前提的某些組合導致三段論無效：EE，EO，OE，OO。為了避免這樣的謬誤，如果三段論的一個前提是否定的，那麼另一個必須是肯定的。
規則5：如果有一個前提是否定的，那麼結論一定也是否定的；同樣，如果結論是否定的，那麼必然存在一個前提也是否定的。
回顧上文，肯定直言命題表示類之間的包含關係，或是一類完全包含在另一類中（A命題），或是一類的部分被包含在另一類中（I命題）。因此，僅當三段論的兩個前提中都表示了類的包含關係時，才能在肯定性結論中有效地推出類的包含關係。另一方面，三段論的兩個肯定性前提（僅僅斷言包含關係）不能有效地推出表示類的排斥關係這樣的否定性結論。
當三段論違反了規則5時，它或者犯下了從一個否定前提推肯定結論的謬誤，或者犯了從兩個肯定前提推否定結論的謬誤。無論是哪種謬誤，這個三段論都是無效的。例如：
例14-22 1.所有的人都是哺乳類動物。
2.有些蜥蜴不是人類。
3.有些蜥蜴是哺乳類動物。
這個論證就犯下從一個否定前提推肯定結論的謬誤。看下面這個例子：
例14-23 1.所有的詩人都是富有創造性的作家。
2.所有富有創造性的作家都是作者。
3.沒有作者是詩人。
該例犯下了從兩個肯定前提推否定結論的謬誤。非常明顯，所有違反規則5的三段論都是無效的，因此我們很少碰見犯了該類謬誤的三段論。最後請記住，任何只包含肯定命題的三段論都默認遵守規則5。
規則6：如果兩個前提都是全稱的，那麼結論也一定是全稱的。
正如我們在前面的章節所見，四類標準式直言命題中只有I和O命題具備存在含義。即，只有I命題和O命題通過主項假定了實體的存在。因此包含兩個全稱前提和一個特稱結論的三段論是無效的。任何從沒有存在含義的前提推出有存在含義的結論，這樣的三段論都違背了規則6，即犯下了所謂的存在謬誤。例如：
例14-24 1 .所有能呼吸的生物都是人。
2.所有美人魚都是能呼吸的生物。
3.有些美人魚是人。
該論證的結論與「至少存在一個美人魚是人」相等價──以支持美人魚的存在。最後請記住，任何包含一個特稱前提或兩個特稱前提（如I類型或O類型）的三段論都默認遵守規則6。
有效性規則與文恩圖
這六條有效性規則中的每一條都規定了使直言三段論有效的必要條件。因此遵守其中任何一條規則的三段論都滿足了使其有效的必要條件。當然，這並不構成有效性的充分條件。只有遵守全部六條規則，才構成使其成為有效三段論的充分條件。因此這項技術不僅提供了一種檢查有效性的方法，並且完全和文恩圖一樣可靠。這些規則也可與文恩圖同時使用。因此，如果一種方法出了錯，另一種方法也能夠檢查出來。任何三段論形式如果犯了以上一條乃至更多的謬誤，都會在文恩圖中顯示其無效性。任何時候，如果一個文恩圖顯示形式是無效的，我們就會在三段論形式中發現一個或多個的謬誤。同樣地，任何遵守全部六條規則的三段論形式也將在文恩圖上顯示出它的有效性。
為了使用有效性規則和謬誤的方法來檢驗三段論形式的有效性，你需要做兩件事：（1）用心地記住哪條規則和哪條謬誤是相對應的；（2）請記住規則和謬誤不是闡述同一件事情的兩種不同方法！規則是當我們斷言三段論有效性時，心中所應牢記的指示要求。謬誤是潛藏在違反三段論規則的推理之中的錯誤。每條謬誤都忽視一條或多條規則。
再次總結：全部六條規則才能構成三段論有效性的充要條件，犯了任意一條謬誤都將使三段論無效。因為有效的三段論是保留真值的，那麼就應該遵守規則以避免謬誤。
現在總結這八個謬誤和六條有效性規則。如表14-3所示。
