羊欣字敬元，泰山南城人。曾祖羊忱，是晉朝的徐州刺史。祖父羊權，為黃門郎。父親羊不疑，為桂陽太守。
羊欣少年時性格沉靜，與人無爭，言笑很美，善飾容貌。廣泛閱讀經書典籍，尤其擅長於隸書。父親羊不疑擔任烏程令時，羊欣十二歲。當時王獻之為吳興太守，十分瞭解和喜愛他。羊欣曾經在夏天穿一件新絹裙白天睡覺，王獻之到縣裡來見到了他，在他的衣裙上寫了幾幅字便走了。羊欣的書法本來就很好，由此以後，就更加出色了。
他最初做官是擔任輔國參軍，軍府撤銷以後又回到家中。隆安時期(397～401)，朝廷漸漸出現動亂，羊欣在家裡悠閒自得，不再出來做官。會稽王的世子司馬元顯常常讓他書寫扇子，他常常不寫。司馬元顯很生氣，便讓羊欣做他的後軍府舍人。這個職務本來是用貧寒人充當的，羊欣則態度安詳，不因為職位的高貴和低下而顯示於外表，輿論非常稱讚。他曾經去拜訪領軍謝混，謝混拂淨蓆子、換上衣服，然後才出來見他。當時謝混的同族侄子謝靈運在座，退下來以後他告訴給同族的兄長謝瞻說：「望蔡因為要會見羊欣，於是就改了蓆子，換了衣服。」羊欣從此更加出名了。
桓玄輔佐朝政，以羊欣為平西主簿，參與機要工作。羊欣想要自求疏遠，便不時地洩露機密。桓玄覺察到了他的這個意向，卻更加重視他，讓他擔任楚台殿中郎。對他說：「尚書是政事的根本，殿中是禮樂的出處。您從前處於輔助地位，和現在比較起來要顯得輕些了。」羊欣就職不多日子，就稱說有病自己免掉了職務，避開眾人隱居在家裡十餘年。
義熙時期(405～418)，他的弟弟羊徽被宋武帝所賞識，武帝對咨議參軍鄭鮮之說：「羊徽是當代的美才，但是世人的評論仍然在他哥哥之後。」於是就任命羊欣為右軍劉藩的司馬。
後來他做了新安太守，在郡中工作了四年，以寬簡仁惠著稱。又任命他為臨川王劉義慶輔國長史、廬陵王劉義真車騎咨議參軍，都沒有就任。文帝重新讓他擔任新安太守。在郡中工作了十三年，很喜歡那裡的山水，他曾經對子弟說：「人生做官能到二千石，這也就可以了。」到這時候他已經感到滿足。調任義興太守，則並非他的愛好。不久，稱說病重免官還家。被任命為中散大夫。
羊欣平素喜愛黃帝、老子學說，常常手抄他們的言論。他有了病不吃藥，只飲符水。兼擅醫術，撰寫了《藥方》數十卷。羊欣因為不能忍受跪拜，推辭不去上朝進見，除非是看望近親，不亂拜訪。行路必定要走城外，不曾進過六門。武帝、文帝都很遺憾沒能認識他。元嘉十九年(442)去世。