志第十五 歷一
曆法尚矣。自堯命羲、和，歷象日月星辰，以閏月定四時成歲，其事略見於《書》。而夏、商、周以三統改正朔，為歷固已不同，而其法不傳。至漢造歷，始以八十一分為統母，其數起於黃鐘之龠，蓋其法一本於律矣。其後劉歆又以《春秋》、《易象》推合其數，蓋傅會之說也。至唐一行始專用大衍之策，則歷術又本於《易》矣。蓋歷起於數，數者，自然之用也。其用無窮而無所不通，以之於律、於《易》，皆可以合也。然其要在於候天地之氣，以知四時寒暑，而仰察天日月星之行運，以相參合而已。然四時寒暑無形而運於下，天日月星有象而見於上，二者常動而不息。一有一無，出入升降，或遲或疾，不相為謀。其久而不能無差忒者，勢使之然也。故為歷者，其始未嘗不精密，而其後多疏而不合，亦理之然也。不合，則屢變其法以求之。自堯、舜、三代以來，歷未嘗同也。
唐終始二百九十餘年，而歷八改。初曰《戊寅元歷》，曰《麟德甲子元歷》，曰《開元大衍歷》，曰《寶應五紀歷》，曰《建中正元歷》，曰《元和觀象歷》，曰《長慶宣明歷》，曰《景福崇玄歷》而止矣。
高祖受禪，將治新歷，東都道士傅仁均善推步之學，太史令庾儉、丞傅弈薦之。詔仁均與儉等參議，合受命歲名為《戊寅元歷》。乃列其大要，所可考驗者有七，曰：「唐以戊寅歲甲子日登極，歷元戊寅，日起甲子，如漢《太初》，一也。冬至五十餘年輒差一度，日短星昴，合於《堯典》，二也。周幽王六年十月辛卯朔，入蝕限，合於《詩》，三也。魯僖公五年壬子冬至，合《春秋命歷序》，四也。月有三大、三小，則日蝕常在朔，月蝕常在望，五也。命辰起子半，命度起虛六，符陰陽之始，六也。立遲疾定朔，則月行晦不東見，朔不西朓，七也。」高祖詔司歷起二年用之，擢仁均員外散騎侍郎。
三年正月望及二月、八月朔，當蝕，比不效。六年，詔吏部郎中祖孝孫考其得失。孝孫使算歷博士王孝通以《甲辰歷》法詰之曰：「『日短星昴，以正仲冬。』七宿畢見，舉中宿言耳。舉中宿，則余星可知。仁均專守昴中，執文害意，不亦謬乎？又《月令》仲冬『昏東壁中』，明昴中非為常准。若堯時星昴昏中，差至東壁，然則堯前七千餘歲，冬至昏翼中，日應在東井。井極北，去人最近，故暑；斗極南，去人最遠，故寒。寒暑易位，必不然矣。又平朔、定朔，舊有二家。三大、三小，為定朔望；一大、一小，為平朔望。日月行有遲速，相及謂之合會。晦、朔無定，由時消息。若定大小皆在朔者，合會雖定，而蔀、元、紀首三端並失。若上合履端之始，下得歸餘於終，合會有時，則《甲辰元歷》為通術矣。」仁均對曰：「宋祖沖之立歲差，隋張胄玄等因而修之。雖差數不同，各明其意。孝通未曉，乃熱南斗為冬至常星。夫日躔宿度，如垂傳之過，宿度既差，黃道隨而變矣。《書》云：『季秋月朔，辰弗集於房。』孔氏云：『集，合也。不合則日蝕可知。』又云：『先時者殺無赦，不及時者殺無赦。』既有先後之差，是知定朔矣。《詩》云：『十月之交，朔月辛卯。』又《春秋傳》曰：『不書朔，官失之也。』自後歷差，莫能詳正。故秦、漢以來，多非朔蝕。宋御史中丞何承天微欲見意，不能詳究，乃為散騎侍郎皮延宗等所抑。孝通之語，乃延宗舊說。治歷之本，必推上元，日月如合璧，五星如連珠，夜半甲子朔旦冬至。自此七曜散行，不復余分普盡，總會如初。唯朔分、氣分，有可盡之理，因其可盡，即有三端。此乃紀其日數之元爾。或以為即夜半甲子朔冬至者，非也。冬至自有常數，朔名由於月起，月行遲疾匪常，三端安得即合。故必須日月相合與至同日者，乃為合朔冬至耳。」孝孫以為然，但略去尤疏闊者。
九年，復詔大理卿崔善為與孝通等較定，善為所改凡數十條。初，仁均以武德元年為歷始，而氣、朔、遲疾、交會及五星皆有加減。至是復用上元積算。其周天度，即古赤道也。
貞觀初，直太史李淳風又上疏論十有八事，復詔善為課二家得失，其七條改從淳風。十四年，太宗將親祀南郊，以十一月癸亥朔，甲子冬至。而淳風新術，以甲子合朔冬至，乃上言：「古歷分日，起於子半。十一月當甲子合朔冬至，故太史令傅仁均以減余稍多，子初為朔，遂差三刻。」司歷南宮子明、太史令薛頤等言：「子初及半，日月未離。淳風之法，較春秋已來晷度薄蝕，事皆符合。」國子祭酒孔穎達等及尚書八座參議，請從淳風。又以平朔推之，則二歷皆以朔日冬至，於事彌合。且平朔行之自古，故《春秋傳》或失之前，謂晦日也。雖癸亥日月相及，明日甲子，為朔可也。從之。十八年，淳風又上言：「仁均歷有三大、三小，雲日月之蝕，必在朔望。十九年九月後，四朔頻大。」詔集諸解歷者詳之，不能定。庚子，詔用仁均平朔，訖麟德元年。
仁均曆法祖述胄玄，稍以劉孝孫舊議參之，其大最疏於淳風。然更相出入，其有所中，淳風亦不能逾之。今所記者，善為所較也。
《戊寅歷》上元戊寅歲至武德九年丙戌，積十六萬四千三百四十八算外。
章歲六百七十六。亦名行分法。章閏二百四十九。章月八千三百六十一。
月法三十八萬四千七十五。日法萬三千六。時法六千五百三度法、氣法九千四百六十四氣時法千一百八十三。
歲分三百四十五萬六千六百七十五。歲余二千三百一十五。周分三百四十五萬六千八百四十五半。斗分一千四百八十五半。沒分七萬六千八百一十五。沒法千一百三。
歷日二十七，歷余萬六千六十四。歷周七十九萬八千二百。曆法二萬八千九百六十八。餘數四萬九千六百三十五。
章月乘年，如章歲得一，為積月。以月法乘積月，如日法得一，為朔積日；余為小余。
日滿六十，去之；余為大余。命甲子算外，得天正平朔。加大余二十九、小余六千九百一，得次朔。加平朔大余七、小余四千九百七十六、小分四之三，為上弦。又加，得望。又加，得下弦。餘數乘年，如氣法得一，為氣積日。命日如前，得冬至。加大余十五、小余二千六十八、小分八之一，得次氣日。加四季之節大余十二、小余千六百五十四、小分四，得土王。凡節氣小余，三之，以氣時法而一，命子半算外，各其加時。置冬至小余，八之，減沒分，余滿沒法為日。加冬至去朔日算，依月大小去之，日不滿月算，得沒日。余分盡為減。加日六十九、余七百八，得次沒。
以平朔、弦、望入氣日算乘損益率，如十五得一，以損益盈縮數，為定盈縮分。凡不盡半法已上亦從一。以曆法乘朔積日，滿歷周去之；余如曆法得一，為日。命日算外，得天正平朔夜半入歷日及余。次日加一，累而裁之。若以萬四千四百八十四乘平朔小余，如六千五百三而一，不盡，為小分，以加夜半入歷日。加之滿歷日及余，去之，得平朔加時所入，加歷日七、余萬一千八十四、小分三千九百九十五，命如前，得上弦。又加，得望、下弦及後朔。
歷行分與次日相減，為行差，後多為進，後少為退。減去行分六百七十六，為差法。各置平朔、弦、望加時入歷日餘，乘所入日損益率，以損益其下積分，差法除，為定盈縮積分。置平朔、弦、望小余，各以入氣積分盈加、縮減之，以入歷積分盈減、縮加之，滿若不足、進退日法，皆為定大小余，命日甲子算外。以歲分乘年為積分，滿周分去之；余如度法得一，為度。命以虛六，經斗去分，得冬至日度及分。以冬至去朔日算及分減之，得天正平朔前夜半日度及分。以小分法十四約度分為行分。凡小分滿法成行分，行分滿法成度。若注歷，又以二十六約行分。月星准此。斗分百七十七，小分七半。累加一度，得次日。以行分法乘朔、望定小余，以九百二十九除為度分，又以十四約為行分。以加夜半度，為朔、望加時日度。定朔加時，日月同度。望則因加日度百八十二、行分四百二十六、小分十太。以夜半入歷日餘乘行差，滿曆法得一，以進加、退減歷行分，為行定分。以朔定小余乘之，滿日法得一，為行分。以減加時月度，為朔、望夜半月度。求次日，加月行定分，累之。
○歲星
率三百七十七萬五千二十三。
終日三百九十八，行分五百九十六，小分七。
平見，入冬至初日，減行分五千四百一十一。自後日損所減百二十分。立春初，日增所加六十分。春分，均加四日。清明畢谷雨，均加五日。立夏畢大暑，均加六日。立秋初日，加四千八十分。乃日損所加六十七分。入寒露，日增所減百一十七分。入小雪，畢大雪，均減八日。
初見，順，日行百七十一分，日益遲一分，百一十四日行十九度二百九分。而留，二十六日。乃退，日九十七分，八十四日退十二度三十六分。又留，二十五日五百九十六分，小分七。凡五星留日有分者，以初定見日分加之。若滿行分法，去之，又增一日。乃順，初日行六十分，日益疾一分，百一十四日行十九度四百三十七分。而伏。
○熒惑
率七百三十八萬一千二百二十三。
終日七百七十九，行分六百二十六，小分三。
平見，入冬至初日，減萬六千三百五十四分。乃日損所減五百四十五分。入大寒，日增所加四百二十六分。入雨水後，均加二十九日。立夏初日，加萬九千三百九十二分。乃日損所加二百一十三分。入立秋初，依平。入處暑，日增所減百八十四分。入小雪後，均減二十五日。
初見，入冬至，初率二百四十一日行百六十三度。自後二日損日度各一，自百二十八日，率百七十七日行九十九度，畢百六十一日。又三日損一，盡百八十二日，率百七十日行九十二度，畢百八十八日。乃三日益一，盡二百二十七日，率百八十三日行百五度。又二日益一，盡二百四十九日，率百九十四日行百一十六度。又每日益一，盡二百一十日，率二百五十五日行百七十七度，畢三百三十七日。乃二日損一，盡大雪，復初見。入小寒後，三日去日率一。入雨水，畢立夏，均去日率二十。自後三日減所去一日，畢小暑，依平，為定日率。若入處暑，畢秋分，皆去度率六。各依冬至後日數而損益之，又依所入之氣以減之，為前疾日度率。若初行入大寒，畢大暑，皆差行，日益遲一分；其餘皆平行。若入白露，畢秋分，初遲，日行半度，四十日行二十度。即去日率四十、度率二十，別為半度之。行訖，然後求平行分，續之。以行分法乘度定率，如日定率而一，為平行分。不盡，為小分。求差行者，減日率一，又半之，加平行分，為初日行分。各盡其日度而遲。初日行三百二十六分，日益遲一分半，六十日行二十五度五分。其前疾去度六者，行三十一度五分。此遲初日加六十七分、小分六十分之三十六。
而留，十三日。前疾去日者，分日於二留，奇從後留。乃退，日百九十二分，六十日退十七度二十八分。又留，十二日六百二十六分，小分三。
又順。後遲，初日行二百三十八分，日益疾一分半，六十日行二十五度三十五分。此遲在立秋至秋分者，加六度，行三十一度三十五分。此遲初日加行分六十七、小分六十分之三十六。而後疾。入冬至，初率二百一十四日行百三十六度。乃每日損一，盡三十七日，率百七十七日行九十九度。又二日損一，盡五十七日，率百六十七日行八十九度，畢七十九日。又三日益一，盡百三十日，率百八十四日行百六度。又二日益一，盡百四十四日，率百九十一日行百一十三度。又每日益一，盡百九十日，率二百三十七日行百五十九度。又每日益二，盡二百日，率二百五十七日行百七十九度。又每日益一，盡二百一十日，率二百六十七日行百八十九度，畢二百五十九日。乃二日損一，畢大雪，復初。後遲加六度者，此後疾去度率六，為定。各依冬至後日數而損益之，為後疾日度率。若入立夏，畢夏至，日行半度，盡六十日，行三十度。若入小暑，畢大暑，盡四十日，行二十度皆去日度率，別為半度之。行訖，然後求平行分，續之。各盡其日度而伏。
○鎮星
率三百五十七萬八千二百四十六。
終日三百七十八，行分六十一。
平見，入冬至初日，減四千八百一十四分。乃日增所減七十九分。入小寒，均減九日。乃每氣損所減一日。入夏至初日，均減二日。自後十日損所減一日。小暑五日外，依平。入大暑，日增所加百八十一分。入處暑，均加九日。入白露初日，加六千二分。乃日損所加百三十三分。入霜降，日增所減七十九分。
初見，順，日行六十分，八十三日行七度二百四十八分。而留，三十八日。乃退，日四十一分，百日退六度四十四分。又留，三十七日六十一分。乃順，日行六十分，八十三日行七度二百四十八分而伏。
○太白
率五百五十二萬六千二百。
終日五百八十三，行分六百二十，小分八。
晨見伏三百二十七日，行分六百二十，小分八。
夕見伏二百五十六日。
晨平見，入冬至，依平。入小寒，日增所加六十六分。入立春，畢立夏，均加三日。小滿初日，加千九百六十四分。乃日損所加六十分。入夏至，依平。入小暑，日增所減六十分。入立秋，畢立冬，均減三日。小雪初日，減千九百六十四分。乃日損所減六十六分。
初見，乃退，日半度，十日退五度。而留，九日。乃順，遲，差行，日益疾八分，四十日行三十度。入大雪畢小滿者，依此。入芒種，十日減一度。入小暑，畢霜降，均減三度。入立冬，十日損所減一度，畢小雪。皆為定度。以行分法乘定度，四十除，為平行分。又以四乘三十九，以減平行，為初日行分。平行，日一度，十五日行十五度。入小寒，十日益日度各一。入雨水後，皆二十一日行二十一度。入春分後，十日減一。畢立夏，依平。入小滿後，六日減一。畢立秋，日度皆盡，無平行。入霜降後，四日加一。畢大雪，依平。疾，百七十日行二百四度。前順遲減度者，計所減之數，以益此度為定。而晨伏。
夕平見，入冬至，日增所減百分。入啟蟄，畢春分，均減九日。清明初日，減五千九百八十六分。乃日損所減百分。入芒種，依平。入夏至，日增所加百分。入處暑，畢秋分，均加九日。寒露初日，加五千九百八十六分。乃日損所減百分。入大雪，依平。
初見，順疾，百七十日行二百四度。入冬至畢立夏者，依此。入小滿，六日加一度。入夏至，畢小暑，均加五度。入大暑，三日減一度。入立秋，畢大雪，依平。從白露畢春分，皆差行，日益疾一分半。以一分半乘百六十九而半之，以加平行，為初日行分。入清明，畢於處暑，畢平行。乃平行，日一度，十五日行十五度。入冬至後，十日減日度各一。入啟蟄，畢芒種，皆九日行九度。入夏至後，五日益一。入大暑，依平。入立秋後，六日加一。畢秋分，二十五日行二十五度。入寒露，六日減一。入大雪，依平。順遲，日益遲八分，四十日行三十度。前加度者，此依數減之。又留，九日。乃退，日半度，十日退五度。而夕伏。
○辰星
率百九萬六千六百八十三
終日百一十五，行分五百九十四，小分七。
晨見伏六十三日，行分五百九十四，小分七。
夕見伏五十二日。
晨平見，入冬至，均減四日。入小寒，依平。入立春後，均減三日。入雨水，畢立夏，應見不見。其在啟蟄、立夏氣內，去日十八度外、三十六度內，晨有木、火、土、金一星者，亦見。入小滿，依平。入霜降，畢立冬，均加一日。入小雪，至大雪十二日，依平。若在大雪十三日後，日增所減一日。
初見，留，六日。順遲，日行百六十九分。入大寒，畢啟蟄，無此遲行。乃平行，日一度，十日行十度。入大寒後，二日去日度各一，畢於二十日，日度俱盡，無此平行。疾，日行一度六百九分，十日行十九度六分。前無遲行者，此疾日減二百三分，十日行十六度四分。而晨伏。
夕平見，入冬至後，依平。入谷雨，畢芒種，均減二日。入夏至，依平。入立秋，畢霜降，應見不見。其在立秋、霜降氣內，夕有星去日如前者，亦見。入立冬，畢大雪，依平。
初見，順疾，日行一度六百九分，十日行十九度六分。若入小暑，畢處暑，日減二百三分。乃平行，日一度，十日行十度。入大暑後，二日去日及度各一，畢於二十日，日度俱盡，無此平行。遲，日行百六十九分。若疾減二百三分者，即不須此遲行。又留，六日七分。而夕伏。
各以星率去歲積分，余反以減其率，余如度法得一為日，得冬至後晨平見日及分。以冬至去朔日算及分加之，起天正，依月大小計之，命日算外，得所在日月。金、水各以晨見伏日及分加之，得夕平見。各以其星初日所加減之分，計後日損益之數以損益之。訖，乃以加減平見為定見。其加減分皆滿行分法為日。以定見去朔日及分加其朔前夜半日度，又以星初見去日度，歲星十四，太白十一，熒惑、鎮星、辰星皆十七，晨減、夕加之，得初見宿度。求次日，各加一日所行度及分。熒惑、太白有小分者，各以日率為母。其行有益疾遲者，副置一日行分，各以其差疾益、遲損，乃加之。留者因前，退則依減，伏不注度。順行出鬥，去其分；退行入鬥，先加分。訖，皆以二十六約行分，為度分。
交會法千二百七十四萬一千二百五八分。交分法六百三十七萬六百二九分。
朔差百八萬五千四百九十四二分。望分六百九十一萬三千三百五十。交限五百八十二萬七千八百五十五八分。望差五十四萬二千七百四十七一分。
外限六百七十六萬七百八十二九分。中限千二百三十五萬一千二十五八分。內限千二百一十九萬一千四百五十八七分。
以朔差乘積月，滿交會法去之；余得天正月朔入平交分。求望，以望分加之。求次月，以朔差加之。其朔望，入大雪，畢冬至，依平。入小寒，日加氣差千六百五十分。入啟蟄，畢清明，均加七萬六千一百分。自後日損所加千六百五十分。入芒種，畢夏至，依平。加之滿法，去之。若朔交入小寒畢雨水，及立夏畢小滿，值盈二時已下，皆半氣差加之。二時已上則否。如望差已下、外限已上有星伏，木、土去見十日外，火去見四十日外，金晨伏去見二十二日外，有一星者，不加氣差。入小暑後，日增所減千二百分。入白露，畢霜降，均減九萬五千八百二十五分。立冬初日，減六萬三千三百分，自後日損所減二千一百一十分。減若不足，加法，乃減之，余為定交分。朔入交分，如交限內限已上、交分中限已下有星伏如前者，不減。不滿交分法者，為在外道；滿去之，余為在內道。如望差已下，為去先交分，交限已上，以減交分，余為去後交分。皆三日法約，為時數。望則月蝕，朔在內道則日蝕。雖在外道，去交近，亦蝕。在內道，去交遠，亦不蝕。
置蝕望定小余。入歷一日，減二百八十；若十五日，即加之；十四日，加五百五十；若二十八日，即減之；餘日皆盈加、縮減二百八十：為月蝕定余。十二乘之，時法而一，命子半算外；不盡，得月蝕加時。約定小余如夜漏半已下者，退日算上。
置蝕朔定小余。入歷一日，即減二百八十；若十五日，即加之；十四日，加五百五十；若二十八日，即減之；為定。後不入四時加減之限。其內道，春，去交四時已上入歷，盈加、縮減二百八十；夏，盈加、縮減二百八十；秋，去交十一時已下，惟盈加二百八十，已上者，盈加五百五十，縮加二百八十；冬，去交五時已下，惟盈加二百八十：皆為定余。十二乘之，時法而一，命子半算外；不盡，為時余，副之。仲辰半前，以副減法為差率；半後，退半辰，以法加余，以副為差率。季辰半前，以法加副為差率；半後，退半辰，以法加余，倍法加副，為差率。孟辰半前，三因其法，以副減之，余為差率；半後，退半辰，以法加余，又以法加副，乃三因其法，以副減之，為差率。又置去交時數，三已下，加三；六已下，加二；九已下，加一；九已上，依數；十二已上，從十二。若季辰半後，孟辰半前，去交六時已上者，皆從其六。六時已下，依數不加。皆乘差率，十四除，為時差。子午半後，以加時余；卯酉半後，以減時余；加之滿若不足，進退時法：孟謂寅、巳、申，仲謂午、卯、酉，季謂辰、未、戌。得日蝕加時。
望去交分，冬先後交，皆去二時；春先交，秋後交，去半時；春後交，秋先交，去二時；夏則依定。不足去者，既。乃以三萬六千一百八十三為法而一，以減十五，余為月蝕分。
朔去交，在內道，五月朔，加時在南方，先交十三時外；六月朔，後交十三時外者，不蝕。啟蟄畢清明，先交十三時外，值縮，加時在未西；處暑畢寒露，後交十三時外，值盈，加時在巳東，皆不蝕。交在外道，先後去交一時內者，皆蝕。若二時內，及先交值盈、後交值縮二時外者，亦蝕。夏去交二時內，加時在南方者，亦蝕。若去分、至十二時內，去交六時內者，亦蝕。若去春分三日內，後交二時；秋分三日內，先交二時內者，亦蝕。諸去交三時內有星伏，土、木去見十日外，火去見四十日外，金晨伏去見二十二日外，有一星者，不蝕。各置去交分。秋分後，畢立春，均減二十二萬八百分。啟蟄初日，畢芒種，日損所減千八百一十分。夏至後，畢白露，日增所減二千四百分。以減去交分，余為不蝕分。不足減，反相減為不蝕分。亦以減望差為定法。後交值縮者，直以望差為定法。其不蝕分，大寒畢立春，後交五時外，皆去一時。時差值減者，先交減之，後交加之。時差值加者，先交加之，後交減之。不足減者，皆既。十五乘之，定法而一，以減十五，余為日蝕分。
置日月蝕分，四已下，因增二；五已下，因增三；六已上，因增五；各為刻率，副之。以乘所入歷損益率，四千五十七為法而一。值盈，反其損益；值縮，依其損益。皆損益其副，為定用刻。乃六乘之，十而一，以減蝕甚辰刻，為虧初。又四乘之，十而一。以加食甚辰刻，為復滿。