（ 鄧平的「太初歷」）
【原文】
《虞書》曰「乃同律度量衡」，所以齊遠近，立民信也。自伏羲畫八卦，由數起，至黃帝、堯、舜而大備。三代稽古，法度章焉。周衰官失，孔子陳後王之法，曰：「謹權量，審法度，修廢官，舉逸民，四方之政行矣。」漢興，北平侯張蒼首律歷事，孝武帝時樂官考正。至元始中，王莽秉政，欲耀名譽，征天下通知鍾律者百餘人，使羲和劉歆等典領條奏，言之最詳。故刪其偽辭，取正義著於篇。
一曰備數，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權衡。參五以變，錯綜其數，稽之於古今，效之於氣物，和之於心耳，考之於經傳，鹹得其實，靡不協同。
數者，一、十、百、千、萬也，所以算數事物，順性命之理也。《書》曰：「先其算命。」本起於黃鐘之數，始於一而三之，三三積之，歷十二辰之數，十有七萬七千一百四十七，而五數備矣。其算法用竹，逕一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。徑象乾律黃鐘之一，而長像坤呂林鍾之長。其數以《易》大衍之數五十，其用四十九，成陽六爻，得周流六虛之象也。夫推歷生律製器，規圜矩方，權重衡平，準繩嘉量，探賾索隱，鉤深至遠，莫不用焉。度長短者不失毫釐，量多少者不失圭撮，權輕重者不失黍累。紀於一，協於十，長於百，大於千，衍千萬，其法在算術。宣於天下，小學是則。職在太史，羲和掌之。
聲者，宮、商、角、徵、羽也。所以作樂者，諧八音，蕩滌人之邪意，全其正性，移風易俗也。八音：土曰塤，匏曰笙，皮曰鼓，竹曰管，絲曰弦，石曰磬，金曰鐘，木曰祝。五聲和，八音諧，而樂成。商之為言章也，物成孰可章度也。角，觸也，物觸地而出，戴芒角也。宮，中也，居中央，暢四方，唱始施生，為四聲綱也。徵，祉也，物盛大而繁祉也。羽，宇也，物聚臧，宇覆之地。夫聲者，中於宮，觸於角，祉於徵，章於商，宇於羽，故四聲為宮紀也。協之五行，則角為木，五常為仁，五事為貌。商為金，為義，為言；徵為火，為禮，為視；羽為水，為智，為聽；宮為土，為信，為思。以君、臣、民、事、物言之，則宮為君，商為臣，角為民，徵為事，羽為物。唱和有象，故言君臣位事之體也。
五聲為本，生於黃種之律。九寸為宮，或損或益，以定商、角、徵、羽。九六相生，陰陽之應也。律十有二，陽六為律，陰六為呂。律以統氣類物，一曰黃鐘，二曰太族，三曰姑洗，四曰蕤賓，五曰夷則，六曰亡射。呂以旅陽宣氣，一曰林鐘，二曰南呂，三曰應鐘，四曰大呂，五曰夾鐘，六曰中呂。有三統之義焉。其傳曰，黃帝之所作也。黃帝使泠綸自大夏之西，崑崙之陰，取竹之解谷，生其竅厚均者，斷兩節間而吹之，以為黃鐘之宮。制十二筒以聽鳳之鳴，其雄鳴為六，雌鳴亦六，比黃鐘之宮，而皆可以生之，是為律本。至治之世，天地之氣合以生風；天地之風氣正，十二律定。
黃鐘：黃者，中之色，君之服也；鍾者，種也。天之中數五，五為聲，聲上宮，五聲莫大焉。地之中數六，六為律，律有形有色，色上黃，五色莫盛焉。故陽氣施種於黃泉，孳萌萬物，為六氣元也。以黃色名元氣律者，著宮聲也。宮以九唱六，變動不居，周流六虛。始於子，在十一月。大呂：呂，旅也，言陰大，旅助黃鐘宣氣而牙物也。位於丑，在十二月。太族：族，奏也，言陽氣大，奏地而達物也。位於寅，在正月，夾鍾：言陰夾助太族宣四方之氣而出種物也。位於卯，在二月。姑洗：洗，潔也，言陽氣洗物辜浩之也。位於辰，在三月。中呂：言微陰始起未成，著於其中旅助姑洗宣氣齊物也。位於巳，在四月。蕤賓：蕤，繼也；賓，導也，言陽始導陰氣使繼養物也。位於午，在五月。林鍾：林，君也，言陰氣受任，助蕤賓君主種物使長大茂盛也。位於未，在六月。夷則：則，法也，言陽氣正法度，而使陰氣夷當傷之物也。位於申，在七月。南呂：南，任也，言陰氣旅助夷則任成萬物也。位於酉，在八月。亡射：射，厭也，言陽氣究物，而使陰氣畢剝落之，終而復始，亡厭已也。位於戌，在九月。應鍾：言陰氣應亡謝，該臧萬物而雜陽閡種也。位於亥，在十月。
三統者，天施，地化，人事之紀也。十一月，「乾」之初九，陽氣伏於地下，始著為一，萬物萌動，鍾於太陰，故黃鐘為天統，律長九寸。九者，所以究極中和，為萬物元也。《易》曰：「立天之道，曰陰與陽。」六月，「坤」之初六，陰氣受任於太陽，繼養化柔，萬物生長，茂之於未，令種剛強大，故林鍾為地統，律長六寸。六者，所以含陽之施，茂之於六合之內，令剛柔有體也「立地之道，曰柔與剛。」「『乾』知太始，『坤』作成物。」正月，「乾」之九三，萬物棣通，族出於寅，人奉而成之，仁以養之，義以行之，令事物各得其理。寅，木也，為仁；其聲，商也，為義。故太族為人統，律長八寸，像八卦，宓戲氏之所以順天地，通神明，類萬物之情也。「立人之道，日仁與義。」「在天成象，在地成形。」「後以裁成天地之道，輔相天地之宜，以左右民。」此三律之謂矣，是為三統。
其於三正也，黃鐘，子，為天正；林鐘，未之沖丑，為地正；太族，寅，為人正。三正正始，是以地正適其始紐於陽東北丑位。《易》曰「東北喪朋，乃終有慶」，答應之道也。及黃鐘為宮，則太族、姑洗、林鍾、南呂皆以正聲應，無有忽微，不復與它律為役者，同心一統之義也。非黃鐘而它律，雖當其月自宮者，則其和應之律有空積忽微，不得其正。此黃鐘至尊，亡與並也。
《易》曰：「參天兩地而倚數。」天之數始於一，終於二十有五。其義紀之以三，故置一得三又二十五分之六，凡二十五置，終天之數，得八十一，以天地五位之合終於十者乘之，為八百一十分，應歷一統千五百三十九歲之章數，黃鐘之實也。繇此之義，起十二律之周徑。地之數始於二，終於三十。其義紀之以兩，故置一得二，凡三十置，終地之數，得六十，以地中數六乘之，為三百六十分，當期之日，林鍾之實。人者，繼天順地，序氣成物，統八卦，調八風，理八政，正八節，諧八音，舞八佾，監八方，被八荒，以終天地之功，故八八六十四。其義極天地之變，以天地五位之合終於十者乘之，為六百四十分，以應六十四卦，大族之實也。《書》曰：「天功人其代之。」天兼地，人則天，故以五位之合乘焉，「唯天為大，唯堯則之」之象也。地以中數乘者，陰道理內，在中饋之象也。三統相通，故黃鐘、林鍾、太族律長皆全寸而亡余分也。
天之中數五，地之中數六，而二者為合。六為虛，五為聲，周流於六虛。虛者，爻律夫陰陽，登降運行，列為十二，而律呂和矣。太極元氣，函三為一。極，中也。元，始也。行於十二辰，始動於子。參之於丑，得三。又參之於寅，得九。又參之於卯，得二十七。又參之於辰，得八十一。又參之於巳，得二百四十三。又參之於午，得七百二十九。又參之於未，得二千一百八十七。又參之於申，得六千五百六十一。又參之於酉，得萬九千六百八十三。又參之於戌，得五萬九千四十九。又參之於亥，得十七萬七千一百四十七。此陰陽合德，氣鍾於子，化生萬物者也。故孳萌於子，紐牙於丑，引達於寅，冒茆於卯，振美於辰，已盛於巳，咢佈於午，昧曖於未，申堅於申，留孰於酉，畢入於戌，該閡於亥。出甲於甲，奮軋於乙，明炳於丙，大盛於丁，豐茂於戊，理紀於己，斂更於庚，悉新於辛，懷任於壬，陳揆於癸。故陰陽之施化，萬物之終始，既類旅於律呂，又經歷於日辰，而變化之情可見矣。
玉衡杓建，天之綱也；日月初躔，星之紀也。綱紀之交，以原始造設，合樂用焉。律呂唱和，以育生成化，歌奏用焉。指顧取象，然後陰陽萬物靡不條鬯該成。故以成之數忖該之積如法為一寸，則黃鐘之長也。參分損一，下生林鐘。參分林鍾益一，上生太族。參分太族損一，下生南呂。參分南呂益一，上生姑洗。參分姑洗損一，下生應鐘。參分應鍾益一，上生蕤賓。參分蕤賓損一，下生大呂。參分大呂益一，上生夷則。參分夷則損一，下生夾鐘。參分夾鍾益一，上生亡射。參分亡射損一，下生中呂。陰陽相生，自黃鐘始而左旋，八八為伍。其法皆用銅。職在大樂，太常掌之。
度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度長短也。本起黃鐘之長。以子谷秬黍中者，一黍之廣，度之九十分，黃鐘之長。一為一分，十分為寸，十寸為尺，十尺為丈，十丈為引，而五度審矣。其法用銅，高一寸，廣二寸，長一丈，而分、寸、尺、丈存焉。用竹為引，高一分，廣六分，長十丈，其方法矩，高廣之數，陰陽之象也。分者，自三微而成著，可分別也。寸者，忖也。尺者，擭也。丈者，張也。引者，信也。夫度者，別於分，忖於寸，擭尺，張於丈，信於引。引者，信天下也。職在內官，廷尉掌之。
量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起於黃鐘之龠，用度數審其容，以子谷秬黍中者千有二百實其龠，以井水準其概。合龠為合，十合為升，十升為鬥，十斗為斛，而五量嘉矣。其法用銅，方尺而圜其外，旁有庣焉。其上為斛，其下為鬥。左耳為升，右耳為合龠。其狀似爵，以縻爵祿。上三下二，參天兩地，圜而函方，左一右二，陰陽之象也。其圜象規，其重二鈞，備氣物之數，合萬有一千五百二十。聲中黃鐘，始於黃鐘而反覆焉，君製器之象也。龠者，黃鐘律之實也，躍微動氣而生物也。合者，合龠之量也。升者，登合之量也。斗者，聚升之量也。斛者，角鬥平多少之量也。夫量者，躍於龠，合於合，登於升，聚於鬥，角於斛也。職在太倉，大司農掌之。
衡權者：衡，平也；權，重也，衡所以任權而均物平輕重也。其道如底，以見准之正，繩之直，左旋見規。右折見矩，其在天也，佐助旋機，斟酌建指，以齊七政，故曰玉衡。《論語》云：「立則見其參於前也，在車則見其倚於衡也。」又曰：「齊之以禮。」此衡在前居南方之義也。
權者，銖、兩、斤、鈞、石也，所以稱物平施，知輕重也。本起於黃鐘之重，一龠容千二百黍，重十二銖，兩之為兩。二十四銖為兩。十六兩為斤。三十斤為鈞。四鈞為石。忖為十八，《易》十有八變之象也。五權之制，以義立之，以物鈞之，其餘小大之差，以輕重為宜。圜而環之，令之肉倍好者，周旋無端，終而復始，無窮已也。銖者，物繇忽微始，至於成著，可殊異也。兩者，兩黃鐘律之重也。二十四銖而成兩者，二十四氣之象也。斤者，明也，三百八十四銖，《易》二篇之爻，陰陽變動之象也。十六兩成斤者，四時乘四方之象也。鈞者，均也，陽施其氣，陰化其物，皆得其成就平均也。權與物均，重萬一千五百二十銖，當萬物之象也。四百八十兩者，六旬行八節之象也。三十斤成鈞者，一月之象也。石者，大也，權之大者也。始於銖，兩於兩，明於斤，均於鈞，終於石，物終石大也。四鈞為石者，四時之象也。重百二十斤者，十二月之象也。終於十二辰而復於子，黃鐘之象也。千九百二十兩者，陰陽之數也。三百八十四爻，五行之象也。四萬六千八十銖者，萬一千五百二十物歷四時之象也。而歲功成就，五權謹矣。
權與物鈞而生衡，衡運生規，規圜生矩，矩方生繩，繩直生准，准正則平衡而鈞權矣。是為五則。規者，所以規圜器械，令得其類也。矩者，矩方器械，令不失其形也。規矩相須，陰陽位序，圜方乃成。准者，所以揆平取正也。繩者，上下端直，經緯四通也。準繩連體，衡權合德，百工繇焉，以定法式，輔弼執玉，以冀天子。《詩》云：「尹氏大師，秉國之鈞，四方是維，天子是毗，俾民不迷。」鹹有五象，其義一也。以陰陽言之，大陰者，北方。北，伏也，陽氣伏於下，於時為冬。冬，終也，物終臧，乃可稱。水潤下。知者謀，謀者重，故為權也。大陽者，南方。南，任也，陽氣任養物，於時為夏。夏，假也，物假大，乃宣平。火炎上。禮者齊，齊者平，故為衡也。少陰者，西方。西，遷也，陰氣遷落物，於時為秋。秋■也，物■斂，乃成孰。金從革，改更也。義者成，成者方，故為矩也。少陽者，東方。東，動也，陽氣動物，於時為春。春，蠢也，物蠢生，乃動運。木曲直。仁者生，生者圜，故為規也。中央者，陰陽之內，四方之中，經緯通達，乃能端直，於時為四季。土稼嗇蕃息。信者誠，誠者直，故為繩也。五則揆物，有輕重、圜方、平直、陰陽之義，四方、四時之體，五常、五行之象。厥法有品，各順其方而應其行。職在大行，鴻臚掌之。
《書》曰：「予欲聞六律、五聲、八音、七始詠，以出內五言，女聽。」予者，帝舜也。言以律呂和五聲，施之八音，合之成樂。七者，天地四時人之始也。順以歌詠五常之言，聽之則順乎天地，序乎四時，應人倫，本陰陽，原情性，風之以德，感之以樂，莫不同乎一。唯聖人為能同天下之意，故帝舜欲聞之也。今廣延群儒，博謀講道，修明舊典，同律，審度，嘉量，平衡，均權，正准，直繩，立於五則，備數和聲，以利兆民，貞天下於一，同海內之歸。凡律、度、量、衡用銅者，各自名也，所以同天下，齊風俗也。銅為物之至精，不為燥濕、寒暑變其節，不為風雨、暴露改其形，介然有常，有似於士君子之行，是以用銅也。用竹為引者，事之宜也。
歷數之起上矣。傳述顓頊命南正重司天，火正黎司地，其後三苗亂德，二官鹹廢，而閏余乖次，孟陬殄滅，攝提失方。堯復育重、黎之後，使纂其業，故《書》曰：「乃命羲、和，欽若昊天，歷象日月星辰，敬授民時。」「歲三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲，允厘百官，眾功皆美。」其後以授舜曰：「咨爾舜，天之歷數在爾躬。」「舜亦以命禹。」至周武王訪箕子，箕子言大法九章，而五紀明曆法。故自殷、周，皆創業改制，鹹正歷紀，服色從之，順其時氣，以應天道。三代既沒，五伯之末，史官喪紀，疇人子弟分散，或在夷狄，故其所記，有《黃帝》、《顓頊》、《夏》、《殷》、《周》及《魯歷》。戰國擾攘，秦兼天下，未皇暇也，亦頗推五勝，而自以獲水德，乃以十月為正，色上黑。
漢興，方綱紀大基，庶事草創，襲秦正朔。以北平侯張蒼言，用《顓頊歷》，比於六歷，疏闊中最為微近。然正朔服色，未睹其真，而朔晦月見，弦望滿虧，多非是。
至武帝元封七年，漢興百二歲矣，大中大夫公孫卿、壺遂、太史令司馬遷等言「歷紀壞廢，宜改正朔」。是時御史大夫貌寬明經術，上乃詔寬曰：「與博士共議，今宜何以為正朔？服色何上？」寬與博士賜等議，皆曰：「帝王必改正朔，易服色，所以明受命於天也。創業變改，制不相復，推傳序文，則今夏時也。臣等聞學褊陋，不能明。陛下躬聖發憤，昭配天地，臣愚以為三統之制，後聖復前聖者，二代在前也。今二代之統絕而不序矣，唯陛下發聖德，宣考天地四時之極，則順陰陽以定大明之制，為萬世則。」於是乃詔御史曰：「乃者有司言歷未定，廣延宣問，以考星度，未能讎也。蓋聞古者黃帝合而不死，名察發斂，定清濁，起五部，建氣物分數。然則上矣。書缺樂弛，朕甚難之。依違以惟，未能修明。其以七年為元年。」遂詔卿、遂、遷與侍郎尊、大典星射姓等議造《漢歷》。乃定東西，立晷儀，下漏刻，以追二十八宿相距於四方，舉終以定朔晦分至，躔離弦望。乃以前歷上元泰初四千六百一十七歲，至於元封七年，復得閼逢攝提格之歲，中冬十一月甲子朔旦冬至，日月在建星，太歲在子，已得太初本星度新正。姓等奏不能為算，願募治歷者，更造密度，各自增減，以造《漢太初歷》。乃選治歷鄧平及長樂司馬可、酒泉候宜君、侍郎尊及與民間治歷者，凡二十餘人，方士唐都、巴郡落下閎與焉。都分天部，而閎運算轉歷。其法以律起歷，曰：「律容一龠，積八十一寸，則一日之分也。與長相終。律長九寸，百七十一分而終復。三復而得甲子。夫律陰陽九六，爻象所從出也。故黃鐘紀元氣之謂律。律，法也，莫不取法焉。」與鄧平所治同。於是皆觀新星度、日月行，更以算推，如閎、平法。法，一月之日二十九日八十一分日之四十三。先藉半日，名曰陽曆；不藉，名曰陰曆。所謂陽曆者，先朔月生；陰曆者，朔而後月乃生。平曰：「陽曆朔皆先旦月生，以朝諸侯王群臣便。」乃詔遷用鄧平所造八十一分律歷，罷廢尤疏遠者十七家，復使校歷律昏明。宦者淳於陵渠復覆《太初歷》晦、朔、弦、望，皆最密，日月如合璧，五星如連珠。陵渠奏狀，遂用鄧平歷，以平為太史丞。
後二十七年，元鳳三年，太史令張壽王上書言：「歷者天地之大紀，上帝所為。傳黃帝《調律歷》，漢元年以來用之。今陰陽不調，宜更歷之過也。」詔下主歷使者鮮於妄人詰問，壽王不服。妄人請與治歷大司農中丞麻光等二十餘人雜候日、月、晦、朔、弦、望、八節、二十四氣，鈞校諸歷用狀。奏可。詔與丞相、御史、大將軍、右將軍史各一人雜候上林清台，課諸歷疏密，凡十一家。以元鳳三年十一月朔旦冬至，盡五年十二月，各有第。壽王課疏遠。案漢元年不用黃帝《調歷》，壽王非漢歷，朔天道，非所宜言，大不敬。有詔勿劾。復候，盡六年。《太初歷》第一。即墨徐萬且、長安徐禹治《太初歷》亦第一。壽王及待詔李信治黃帝《調歷》，課皆疏闊，又言黃帝至元鳳三年六千餘歲。丞相屬寶、長安單安國、安陵杯育治《終始》，言黃帝以來三千六百二十九歲，不與壽王合。壽王又移《帝王錄》，舜、禹年歲不合人年。壽王言化益為天子代禹，驪山女亦為天子，在殷、周間，皆不合經術。壽王歷乃太史官《殷歷》也。壽王猥曰安得五家歷，又妄盲《太初歷》虧四分日之三，去小余七百五分，以故陰陽不調，謂之亂世。劾壽王吏八百石，古之大夫，服儒衣，誦不詳之辭，作襖言欲亂制度，不道。奏可。壽王候課，比三年下，終不服。再劾死，更赦勿劾，遂不更言，誹謗益甚，竟以下吏。故歷本之驗在於天，自漢歷初起，盡元鳳六年，三十六歲，而是非堅定。
至孝成世，劉向總六歷，列是非，作《五紀論》。向子歆究其微眇，作《三統歷》及《譜》以說《春秋》，推法密要，故述焉。
夫歷《春秋》者，天時也，列人事而因以天時。傳曰：「民受天地之中以生，所謂命也。是故有禮誼動作威儀之則以定命也，能者養以之福，不能者敗以取禍。」故列十二公二百四十二年之事，以陰陽之中制其禮。故春為陽中，萬物以生；秋為陰中，萬物以成。是以事舉其中，禮取其和，歷數以閏正天地之中，以作事厚生，皆所以定命也。《易》金、火相革之卦曰「湯、武革命，順乎天而應乎人」，又曰「治歷明時」，所以和人道也。
周道既衰，幽王既喪，天子不能班朔，魯歷不正，以閏余一之歲為蔀首。故《春秋》刺「十一月乙亥朔，日有食之」。於是辰在申，而司歷以為在建戌，史書建亥。哀十二年，亦以建申流火之月為建亥，而怪蟄蟲之不伏也。自文公閏月不告朔，至此百有餘年，莫能正歷數。故子貢欲去其餼羊，孔子愛其禮，而著其法於《春秋》。《經》曰：「冬十月朔，日有食之。」《傳》曰：「不書日，官失之也。天子有日官，諸侯有日御，日官居卿以底日，禮也。日御不失日以授百官於朝。」言告朔也。元典歷始曰元。《傳》曰：「元，善之長也。」共養三德為善。又曰：「元，體之長也。」合三體而為之原，故曰元。於春三月，每月書王，元之三統也。三統合於一元，故因元一而九三之以為法，十一三之以為實。實如法得一。黃鐘初九，律之首，陽之變也。因而六之，以九為法，得林鍾初六，呂之首，陰之變也。皆參天兩地之法也。上生六而倍之，下生六而損之，皆以九為法。九六，陰陽、夫婦、子母之道也。律娶妻而呂生子，天地之情也。六律六呂，而十二辰立矣。五聲清濁，而十日行矣。《傳》曰「天六地五」，數之常也。天有六氣，降生五味。夫五六者，天地之中合，而民所受以生也。故日有六甲，辰有五子，十一而天地之道畢，言終而復始。太極中央元氣，故為黃鐘，其實一龠，以其長自乘，故八十一為日法，所以生權衡、度量，禮樂之所繇出也。《經》元，一以統始，《易》太極之首也。春秋二以目歲，《易》兩儀之中也。於春每月書王，《易》三極之統也。於四時雖亡事必書時月，《易》四象之節也。時月以建分、至、啟、閉之分，《易》八卦之位也。像事成敗，《易》吉凶之效也。朝聘會盟，《易》大業之本也。故《易》與《春秋》，天人之道也。《傳》曰：「龜，像也。筮，數也，物生而後有象，像而後有滋，滋而後有數。」
是故元始有像一也，春秋二也，三統三也，四時四也，合而為十，成五體。以五乘十，大衍之數也，而道據其一，其餘四十九，所當用也，故蓍以為數。以像兩兩之，又以像三三之，又以象四四之，又歸奇象閏十九，及所據一加之，因以再扐兩之，是為月法之實。如日法得一，則一月之日數也，而三辰之會交矣，是以能生吉凶。故《易》曰：「天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十有五，地數三十，凡天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。」並終數為十九，《易》窮則變，故為閏法。參天九，兩地十，是為會數。參天數二十五，兩地數三十，是為朔、望之會。以會數乘之，則周天朔旦冬至，是為會月。九會而復元，黃鐘初九之數也。經於四時，雖亡事必書時月。時所以記啟、閉也，月所以紀分、至也。啟、閉者，節也。分、至者，中也。節不必在其月，故時中必在正數之月。故《傳》曰：「先王之正時也，履端於始，舉正於中，歸余於終。履端於始，序則不愆；舉正於中，民則不惑；歸余於終，事則不誖。」此聖王之重閏也。以五位乘會數，而朔旦冬至，是為章月。四分月法，以其一乘章月，是為中法。參閏法為周至，以乘月法，以減中法而約之，則七扐之數，為一月之閏法，其餘七分。此中朔相求之術也。朔不得中，是謂閏月，言陰陽雖交，不得中不生。故日法乘閏法，是為統歲。三統，是為元歲。元歲之閏，陰陽災，三弦閏法。《易》九厄曰：初入元，百六，陽九；次三百七十四，陽九；次四百八十，陽九；次七百二十，陰七；次七百二十，陽七；次六百，陰五；次六百，陽五；次四百八十，陰三；次四百八十，陽三。凡四千六百一十七歲，與一元終。經歲四千五百六十，災歲五十七。是以《春秋》曰：「舉正於中。」又曰：「閏月不告朔，非禮也。閏以正時，時以作事，事以厚生，生民之道於是乎在矣。不告閏朔，棄時正也，何以為民？」故善僖「五年春王正月辛亥朔，日南至，公既視朔，遂登觀台以望，而書，禮也。凡分、至、啟、閉，必書雲物，為備故也。」至昭二十年二月己丑，日南至，失閏，至在非其月。梓慎望氛氣而弗正，不履端於始也。故傳不曰冬至，而曰日南至。極於牽牛之初，日中之時景最長，以此知其南至也。斗綱之端連貫營室，織女之紀指牽牛之初，以紀日月，故曰星紀。五星起其初，日月起其中，凡十二次。日至其初為節，至其中斗建下為十二辰。視其建而知其次。故曰：「制禮上物，不過十二，天之大數也」。《經》曰「春，王正月」，《傳》曰：周正月「火出，於夏為三月，商為四月，周為五月。夏數得天」，得四時之正也。三代各據一統，明三統常合，而迭為首，登降三統之首，周還五行之道也。故三五相包而生。天統之正，始施於子半，日萌色赤。地統受之於丑初，日肇化而黃，至丑半，日牙化而白。人統受之於寅初，日孽成而黑，至寅半，日生成而青。天施復於子，地化自丑畢於辰，人生自寅成於申。故歷數三統，天以甲子，地以甲辰，人以甲申。孟、仲、季迭用事為統首。三微之統既著，而五行自青始，其序亦如之。五行與三統相錯。傳曰「天有三辰，地有五行」，然則三統五星可知也。《易》曰：「參五以變，錯綜其數。通其變，遂成天下之文；極其數，遂定天下之象。」太極運三辰五星於上，而元氣轉三統五行於下。其於人，皇極統三德五事。故三辰之合於三統也，日合於天統，月合於地統，斗合於人統。五星之合於五行，水合於辰星，火合於熒惑，金合於太白，木合於歲星，土合於鎮星。三辰五星而相經緯也。天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。五勝相乘，以生小周，以乘「乾」、「坤」之策，而成大周。陰陽比類，交錯相成，故九六之變登隆於六體。三微而成著，三著而成象，二象十有八變而成卦，四營而成易，為七十二，參三統兩四時相乘之數也。參之則得「乾」之策，兩之則得「坤」之策。以陽九九之，為六百四十八；以陰六六之，為四百三十二，凡一千八十，陰陽各一卦之微算策也。八之，為八千六百四十，而八卦小成。引而信之，又八之，為六萬九千一百二十，天地再之，為十三萬八千二百四十，然後大成。五星會終，觸類而長之，以乘章歲，為二百六十二萬六千五百六十，而與日月會。三會為七百八十七萬九千六百八十，而與三統會。三統二千三百六十三萬九千四十，而復於太極上元。九章歲而六之為法，太極上元為實，實如法得一，陰陰各萬一千五百二十，當萬物氣體之數，天下之能事畢矣。
【白話文】
《虞書》說「統一了律、度、量、衡」，這是為了使遠近一致而使百姓有所憑信。從伏羲畫八卦，數字就由此而起，到黃帝、堯、舜時就部齊全了。三代時研習古事，度量衡制度更加明晰了。周朝衰亡失去了控制，孔子就陳述後代帝王應遵守的準則，說道：「要小心對待斤兩與斗斛，慎重對待丈和尺，重整被罷免的官員，舉薦人才，天下的政治就可行了。」漢朝建立後，北平侯張蒼最先確定律法和曆法，孝武帝時樂官又進行了考正。到元始年間王莽把持朝政，想沽名釣譽，就徵召了天下通曉鍾律的一百多人，叫羲和劉歆等人主持領導分條上奏，所說的最為詳細。所以刪除其中不確切的話，選取其中正確的意義，把它們寫成篇章。
一叫完備數字，二叫和協樂音，三叫詳細長短標準，四叫標準量器，五叫稱量物體輕重工具。或三或五，加以參合，加以改變，考察古今，驗證物體，協調聽覺，查考經傳，都得到了
確實，沒有不一致的。
數就是一、十、百、千、萬，是用來計算統計事物，順應人的性命的規則。《尚書》說：「首先要建立算數來命名萬物。」原本產生於黃鐘的律敷，從一開始，用三來乘，再用三來乘，……經過十二次相乘的數字，得十七萬匕千一百四十七，即一乘以三的十一次方，五行的數字都齊備了。它的計算方法是用竹子，直徑一分，長六寸，用二百七十一枚就形成六角，是一握的數量。直徑就像十二律六陽中黃鐘的十分之一，長度就像六陰中林鐘音律的長度。它的數字是用《周易》中大衍之數是五、十，其用數為四十九，就成為陽六爻，從而形成六爻周轉流行的景象。推演歷術、產生律呂、製作器物，用規來畫圓，用矩來畫方，稱量物體，量知多少，窺探幽深，求索隱微，勾畫描繪致深致遠的事物，沒有不用數的。測量長短可以不差毫，容量多少不差圭撮，稱量輕重不差黍累。記數超過了一的，和超過了十的，長大於一百的，大小超過一千的，演算超過一萬的，計算都在於算數的方法。公佈天下，是小學的準則。職責在於太史，羲和掌管『蘆。
聲，是宮、商、角、征、羽。製作音樂，是用來調諧八音，淨化人不正當的心意，完整他們端正的秉性，改變風氣轉換習俗的。八種樂器包括：用土做的叫塤，用匏做的叫笙，用皮做的叫鼓，用竹做的叫管，用絲做的叫弦，用石做的叫磬，用金屬做的叫鐘，用木做的叫祝。五聲調和，八音和諧，音樂就成了。商是聲音最顯著的，物質成熟後可以明顯地測量。角，就是觸，植物衝破地面長出來的，是幼苗長出的尖葉。宮，就是中，處在中央，四方暢通，首先開始，是四聲中起決定作用的部分。征，就是祉，物體盛大就產生福祉。羽，就是字，物體都聚集隱藏在宇宙下面。聲音，就是以宮為中間，從角慢慢開始，到征逐漸強大，而到商就更顯著了，到羽就擴大到了整個宇宙，所以四聲成為五音了。用五行來和配，那麼角就是木，在五常中是仁，在五事中就是貌。商就是金、是義、是言，征就是火、是禮、是視，羽就是水、是智、是聽，宮就是土、是信、是思。如果從君、臣、民、事、物方面來說，那麼宮就是君，商就是臣，角就是民，征就是事，羽就是物。此唱彼和，互相呼應，所以用君臣的地位來論說是事物的本體。
五聲的根本，產生於黃鐘的律音。以九寸作為宮調，或增或減，用來確定商、角、征、羽。九和六錯雜交替，是陰和陽互相呼應的結果。律有十二，其中六陽為律，六陰為呂。律是用來統領氣息模仿事物的，一叫做黃鐘，二叫太蔟，三叫姑洗，四叫蕤賓，五叫夷貝0，六叫無射。呂是用來集中天陽以發出氣息，一叫做林鐘，二叫做南呂，三叫做應鐘，四叫做大呂，五叫做夾鐘，六叫做中呂。有三統的含義。相傳是黃帝所作。黃帝派泠綸從大夏往西，到達崑崙山的北面，砍下生長在解谷的竹子，取竹孔內外厚薄均勻的，截斷兩節的中間部位用來吹氣，就成了黃鐘的音律。做成十二個竹筒來聽鳳凰的嗚叫，其中雄的叫了六下，雌的也叫了六下，參照黃鐘的音律，都可以上下相生，所以是律的根本。在天下極為太平的時代，天氣和地氣相合就產生了風；天地的風氣端正了，十二律就定了。黃鐘：黃是中間的顏色，君主的服裝；鍾就是種。天的中間數字是五，五作為聲音的數字，在宮上的聲音，五聲中沒有比它更響的了。地的中間數字是六，六作為律音，律有形有色，顏色崇尚黃色，五色中再也沒有比它更艷麗的了。所以陽氣注於地下深處，使萬物萌芽生長，成為六氣之首。用黃色來命名氣律之首，是為了突出宮聲。宮用九唱六和，變化不止，流動不息。從子位開始，在十一月。大呂：呂，就是旅，是說陰氣很強，共同幫助黃鐘疏通氣流而使萬物萌芽。宮位於丑位，在十二月。太蔟：蔟，就是奏，是說陽氣盛大，波及地面上的物質。宮位於寅位，在正月。夾鐘，是說陰氣在兩旁幫助著太蔟傳播四方的氣流而使種在地下的物質長出來。宮位於卯位，在二二月。姑洗：洗就是潔，是說陽氣洗滌物質一定使它潔淨。宮位於辰位，在三月。中呂，是說很小的陰氣剛開始起來還沒有形成，把它放到裹面是一同幫助姑洗宣洩氣流調濟物質。宮位於巳位，在四月。蕤賓：蕤，就是繼，賓，就是導，是說陽氣開始引導陰氣使其繼續滋善萬物。宮位於午位，在五月。林鍾：林，就是君，是說陰氣接受任務，幫助蕤賓統治播種的萬物使它們生長得很茂盛。宮位於未位，在六月。夷則：則，就是法，是說陽氣用來端正法度而使陰氣去損傷那些應當傷害的物質。宮位於申位，在七月。南呂；南，就是任，是說陰氣是用來一同幫助損害那些生成
的萬物。宮位於酉位，在八月。無射：射，就是厭，是說陽氣窮究物質而使陰氣全部把它剝落，完了以後再開始，沒有滿足和窮盡。宮位於戌位，在九月。應鐘，是說陰氣呼應無射，把萬物都藏塞起來而陰氣夾雜著陽氣來阻隔所種下的物質。宮位於亥位，在十月。
三統，是上天所施行，大地所造化，人間所行之事的記載。十一月時，是《干》卦的初九，此時陽氣埋伏在地底下，開始時顯露為一體，萬物開始萌芽生長，種子種於陰氣極盛的地方，所以黃鐘就是上天的正統，律長有九寸。九是用來窮究和中和的，是萬物之首。《周易》上說：「建立上天的規律，就是陰和陽。」六月，是《坤》卦的初六，陰氣從陽氣極盛的地方接受孕育，用來繼續培養萬物使之開始萌生，讓萬物得以生長，在未位變得茂盛，讓種子變得剛強壯大，所以林鍾就是大地的正統，律長有六寸。六是因為含有陽氣的散發，盛行於天地四方，使剛和柔各自有體。「建立大地的規律，就是剛與柔。」「《干》卦可以知道最初的，《坤》卦可以生成萬物。」正月，《干》卦的九三爻，萬物開始通氣，聚集起來在寅時長出，人類捧著它使它成形，用仁德來撫養，用道義來對待，使事物各自得到自己發展的規律。寅位，屬木，是五常中的仁；它的聲音，是商調，是五常中的義。所以太蔟就是人類的正統，律長有八寸，就像八卦，伏羲氏用它來理順天地，通達神靈，類推萬物的情狀。「成為人的原則，就是仁與義。」「在天形成天象，在地就形成形體。」「君王用來總結形成天地的規律，用天地合理的規律來規矩百姓。」這就是對三律而言的，這就是三統。
五聲在三正中，黃鐘在子位為天正，林鍾在未位，其相對沖的是醜位，為地正，太蔟在寅位為人正。三正用來端正開始，是用地正去適應它開始於陽東北的醜位。《周易》上說「東北喪失了同類，最終一定有福」，這是答和應的規律。黃鐘如果為宮聲，那麼太蔟、姑洗、林鍾、南呂就都用正聲相應，沒有一點多餘的，不再為其他律音所利用，這是同心齊力的道義所在。不用黃鐘而用其他的律，即使從它所在的月份為宮調，那麼與它相和應的律音也會有差異，不能得到它正確的音高。這就是黃鐘高高在上的緣故，沒有與它相並列的。
《周易》書上說：「天的奇數和地的偶數就組成了數字。」天的數字從一開始，其總和為二十五。它的含義用三來記數，所以放一個就得三個，又有二十五分之六，一共放二十五個，為終天之數，得八十一，用天地五位的最後一個數以十乘之，得到八百一十分，印證了曆法一統有一千五百三十九年的章數，這是黃鐘的積數。用這個含義，就形成了十二律的直徑。地的數字從二開始，其總和為三十。它的含義用二來記數，所以放一個就得二個，一共放三十個，為終地之數，得到六十，用地的中心數字六來乘以六十，得三百六十分，正好是一年的天數，這是林鐘的積數。人，繼承天意順從地意，調節氣形成事物，統率八卦，調動八風，治理八政，端工正八節，調和八音，舞蹈八佾，監察八方，身游八荒，用來完成天地所有的功業，所以八乘八得六十四。它的意義包括了天地所有的變化，用天地五位的最後一個數十來乘以六十四，得六百四十分，應了六十四卦，這是太蔟的積數。
《尚書》上說：「天的功業由人來代替。」天兼有地，入以天為準貝0，所以用天數五位的和來乘以它們，「衹有天是最大的，所以堯遵守天的法則」就是這樣。地用中心數字來乘，是因為陰氣的規律是主持內部，就像在中鎖的位置一樣。三統互相貫通了，所以黃鐘、林鍾、太蔟的律長都達到了，沒有多餘一分。
天數的中間數字是五，地數的中間數字是六，這兩者都是合。六是爻位，五是聲位，在天地四方流動不息。虛，爻位和律都有陰陽，它們上下運行，共有十二個，這樣律呂就相和諧了。原始混沌之氣中，把天地人三者混合為一。極，是中正的意思。元，是開始的意思。從子時開始起動，在十二辰中運行。在丑時用三乘子時之數，得三。又在寅時用三乘以丑時之數，得九。又在卯時用三乘以寅時之數，得二十七。又在辰時用三乘以卯時之數，得八十一。又在巳時用三乘以辰時之數，得二百四十三。又在午時用三乘以巳時之數，得七百二十九。又在未時用三乘以午時之數，得二千一百八十七。又在申時用三乘以未時之數，得六千五百六十一。又在酉時用三乘以申時之數，得一萬九千六百八十三。又在戌時用三乘以酉時之數，得五萬九千零四十九。又在亥時用三乘以戌時之數，得十七萬七千一百四十七。這是由於陰陽相和，氣播灑在子時，用來生成萬物。所以在子時滋養，在丑時萌芽，在寅時慢慢生長，在卯時冒出地面，在辰時努力向上生長，在巳時就已經強盛起來，在午時就一下全都佈滿了，在未時開始有滋味，有申時各自保持自己的形狀，在酉時就收穫已經成熟的，在戌時全部都收穫了，在亥時就全都收藏起來。在甲脫出甲殼，在乙軋軋而出，在丙顯然易見，在丁強盛壯大，在戊豐盛茂密，在已有形可認，在庚收斂改變，在辛都是新收成的，在壬懷孕，在癸進行測量。所以陰陽施行與轉化，萬物的終結與開始，既依照律呂而進行，又經過丫曰辰，這樣變化的情況就可以看出來了。
北斗玉衡和杓柄的指向，是天的要則所在；曰月開始運行的位置，是各星的次序。綱和紀相互配合，就形成了原始的狀態，用來配合樂音。律呂一唱一和，是養育生成並演化了的，用來歌唱和演奏。斗柄指示星象取準，然後陰陽萬物全都暢達完備。所以用已成的法數除以積數，按法則是一寸，即是黃鐘的長度。把黃鐘的長度平分成三減去其中之一，就是林鐘的長度。把林鐘的長度平分成三再增加一份，就是太蔟的長度。把太蔟平分為三減去其中之一，就是南呂的長度。把南呂平分為三再增加一份，就是姑洗的長度。把姑洗平分為三減去其中之一，就是應鐘的長度。把應鍾平分為三再增加其中之一的長，就是蕤賓的長度。把蕤賓平分為三再減去其中之一，就是大呂的長度。把大呂平分為三再增加其中之一的長，就是夷則的長度。把夷則平分為三再減去其中之一，就是夾鐘的長度。把夾鍾平分為三再增加其中之一的長，就是無射的長度。把無射平分為三再減去其中之一長，就是中呂的長度。陰陽相生，從黃鐘開始迴旋，八八形成一對。這些規矩都要用銅製樂器來體現。其職責在大樂官，由太常掌管。
度包括分、寸、尺、丈、引，是用來測量長短的。本來是起源於黃鐘的長度。用谷子黑黍中號大小來測量，一黍的寬度是九十分，正好是黃鐘的長度。一個單位就是一分，十分就是一寸，十寸就是一尺，十尺就是一丈，十丈就是一引，這樣五種測量長度的單位就明白清楚了。製作的方法是用銅來鑄造，高是一寸，寬二寸，長一丈，這樣分、寸、尺、丈就都存有了。用竹來製作引，高一分，寬六分，長十丈，它的方形依照矩來製作，高和寬的數字，是陰陽的具體體現。分，是把許多極微小的組到一塊就比較顯著了，可以用來分別事物。寸，就是忖，可揣度、思量。尺，就是蔓，用來規範長度。丈，就是張，丈量的意思。引，就是信，伸長的意思。所以度是用分來分別，用寸來揣度，用尺來規範，用丈來丈量，用引來伸長。引，就是無限伸展。職責在內官，由廷尉來掌管。
測量容積的工具有龠、合、升、斗、斛，是用來測量多少的。本來起源於黃鐘的竹管，用長度的數字來確定它能容納多少，用中號的谷子黑黍一千二百顆來裝滿竹管，用井水來讓它平整。一黃鐘竹管的數量就是一合，十合是一升，十升是一鬥，十斗就是一斛，這樣五種量器就完善了。製作的方法是用銅鑄造，用方尺再使其外部成圓形，旁邊還有剩餘的部分。上面就作斛，下面作鬥。左耳為升，右耳就是合和龠。它的形狀就像爵器，用來分配爵位和俸祿。它的上面是三，下面是二，天是奇數，地是偶數，圓中有方，左邊有一個，右邊有兩個，這是陰陽的具體表現。它的圓就像規器一樣，重有二鈞，具備了大氣和萬物的數字，共有一萬一千五百二十。聲音符合黃鐘，從黃鐘長度開始反覆損、益三分之一，是君主製作器物的法式。龠是黃鐘律長的容積，微微跳動鼓蕩氣流就生成萬物。合，是把龠加在一起的數量。升是比合高一等的容量。斗是把升聚集在一起的容量。斛是用角裝一斗平了的容量。量器從龠開始，到合相會，到升上升，到斗相聚，把斛用角來量。它的職責在太倉，由大司農來掌管。
衡權中衡的意思是干正，權的意思是加重，用秤錘來均分物質使輕重平正。它的方法就像砥石礪物使其平整一樣，用來表現準星的平正，繩的筆直，向左轉就是規，向右折就是矩。它在天上，用來輔佐北斗的璇璣星，斟酌斗柄所指的方向，用來協調曰、月、五星七政，所以叫玉衡。《論語》說：「站著見到它坐在前面，在車上就見到它倚靠著車轅頭上的橫木。」又說：「用禮來整治他們。」這是衡在前方，居於南方的意思。
稱量物體的單位有銖、兩、斤、鈞、石，它們是用來稱量物體平衡的標尺，弄清楚物體的重量。本來起源於黃鐘的重量。一黃鐘竹管裝一千二百粒黍子，重量是十二銖，十二銖的兩倍就是一兩。一兩有二十四銖。十六兩就是一斤。三十斤就是一鉤。四鈞就是一石。估計有十八鐘，象徵《周易》有十八種變化的情況。五權制的建立，用定義來確立，用物體來衡量，其餘大小的差別，用輕重來分別比較合適。錘是圓環形狀的，讓它的形體上有很多小孔，是為了讓它變化不定，到終點後又重頭開始，循環沒有窮盡。銖，是表示物體從很細小的開始，逐漸長得比較明顯，可以用來區別不同。兩是黃鐘律管的兩倍重的意思。由二十四銖形成一兩，是二十四節氣的表現。斤是顯著的意思，共有三百八十四銖，是《周易》二篇的爻數，是陰陽變化的表現。十六兩形成一斤，是表示用四個季節乘以四方。鉤是平均的意思，陽氣施放，陰氣轉化萬物，都能得到平均的結果。秤錘與物體重量均平，重量就有一萬一千五百二十銖，正好是萬物的表示。四百八十兩是六旬周行八節的象徵。三十斤形成一鈞，是一個月的表示。石是大的意思，是重量最大的單位。從銖開始，銖的兩倍就是兩，到斤就比較明顯了，到鈞就比較平均，到石就是最重的單位，物體的重量單位到石就是最重的了。四鈞形成一石，是表明一年有四季。重一百二十斤，表明一年有十二個月。到十二辰停止又從子時開始，正是黃鐘重量的表示。一千九百二十兩是陰陽的數字。三百八十四爻，是五行的表示。四萬六千零八十銖，是一萬一千五百二十物經過四時的表示。這樣一歲的功勞成就了，五權制也就嚴格了。
秤錘和物體相平就形成平衡狀態，秤桿運行就形成圓規，用圓規畫的圓來形成矩形，矩尺方正了就生成繩，繩直了就形成丁准，准正了那麼秤桿就平直而秤錘就均稱了。這就是五則。規是用來畫圓的器械，使圓都能相像。矩是畫方的器械，使方不能變形。規和矩互相配合，陰和陽位置有序，圓和方才形成。準是用來測量平直使物體平正。繩，上下筆直，經緯暢通。准和繩連在一起，衡和權協調一致，各種工匠都要用它，來確定法度，就像輔弼官拿著玉笏來輔助天子。《詩經》上說：「尹氏任太師，執掌國家的權量，維持四方，輔助天子，使百姓不迷惑。」共有五象，它的意義都是一樣。用陰陽來比喻，那麼太陰就是北方。北，是伏的意思，陽氣蟄伏在地下，在時令上是冬天。冬，是終的意思，萬物整天都躲藏著，於是才可以稱量。水滋潤地勢低的物質。有智慧的善於計謀，有謀略的人就顯得重要，所以他們就製作了權。太陽處在南方。南就是孕育，陽氣孕養萬物，在時令上是夏季。夏就是假，物體很大，就把它弄平整。火烤著上面。知禮的人就能整治，整治的人就能公平，所以就製作了衡。少陰，處在西方。西就是遷，陰氣使萬物凋落，在時令上已是秋季。秋就是報，萬物收斂，就是成熟了。金的特性是變革，改變了重新開始。有正義感的人成功，成功的人就方正，所以製作矩。少陽，處在東方。東，就是動，陽氣使萬物萌動，在時令上是春季。春，就是蠢，萬物蠢蠢欲動，就開始運動了。木由曲變直。仁道的人能夠生存，能夠生存的人比較圓通，所以製作了規。處在中央的，在陰陽之內，四方之中，經和緯都暢通，這樣才能端正筆直，這是在一年四季。在土中種莊稼都能生長。虔信的人心誠，心誠的人正直，所以製作了繩。用五則來度量物體，有輕、重，圓、方，平、直，陰、陽的含義，有四方四季本體，五常、五行的相似之處。法則各有種類，各自順著自己的方向而運行。職責在大行，由鴻臚來掌管。
《尚書》說：「我想知道六律、五聲、八音、七始的歌詠，用來向天下宣告五言，你也來聽聽。」這裡的「我」，是帝舜。造句話是說用律呂來協調五聲，把它在八種樂器上演奏，這樣就把它們合成了音樂。七是指天、地、四時、人的開始。把它們配上歌詠五常的音調，聽到它就能順應天地，遵守四時的規律，應合人倫，本守陰陽，依照人的情性，用德來感化，用樂來感動，都是一個道理。衹有聖明的人才能與天下的人心意相同，所以舜帝想知道。現在廣泛地招納眾多儒生，詳細討論後，來闡明道理，修整舊的制度，統一律制，詳細度制，完善量制，平等衡制，平均權制，端正准制，筆直繩制，建立在五種法則的基礎上，使萬數齊備，萬音協調，來為天下百姓造福，使天下人走上同一正道，海內同歸一路。凡是律器、度器、量器、衡器都用銅鑄造，是各自取銅的諧音，用來統一天下，整齊風俗。銅是萬物中的精華，不為燥、濕、寒、暑而改變它的性質，不為風雨和曰曬夜露而改變形狀，專一不變，具有像士人君子一樣的品行，所以要用銅。用竹來做引器，是製作比較方便的緣故。
曆法推算的興起已很久遠了。傳說顓頊任命南正重掌管天文，火正黎掌管地理，後來三苗道德敗壞，這兩個官都被罷黜了，從而出現一年所剩下的日子錯亂，正月消失，木星所應在的位置錯誤的現象。堯帝重新撫養重、黎二官的後代，讓他們繼承祖業，所以《尚書》上就說：「於是任命羲、和，讓他們恭敬順應上天，觀察推算曰月星辰的運行，讓百姓知道時節。」「一年有三百六十六Et，用閏月來調節四時節氣，形成一年的歲時，用來治理百官，各種功業都很美好。」後來把它授給舜說：「舜啊，以後天體的歷數就屬於你了。」「舜也對禹這樣說。」到周武王時詢問箕子，箕子說出了《洪範》九疇，其中五紀闡明曆法。所以從殷、周開始，都在建立帝位時改換制度，確定曆法的計算，用相應的服飾的顏色，順應時令節氣，來迎合自然規律。三代衰敗之後，五霸以後史官喪失記錄，而世代懂曆法的於孫都分散了，有的人到了夷狄，所以他們所記載的，有《黃帝歷》、《顓頊歷》、《夏歷》、《商歷》、《周歷》以及《魯歷》。戰國時，天下大亂，秦兼併天下後，一時來不及改定曆法，但也推崇五行相勝，白以為得到了水德，就以十月為正月。崇尚黑的顏色。
漢朝建立後，國家綱紀剛建立，萬事都處初創之時，就承襲了秦朝的曆法。又採用北平侯張蒼的建議，用《顓頊歷》，和其他五種曆法相比較，在差距中它最為貼近。但曆法對朔的計算和對所應祟尚的服飾的顏色都未取得真切的方法，而且朔、晦時月亮的出現，月亮的弦、滿和虧，多與真實情況相異。
到武帝元封七年時，漢朝已建立了一百零二年，大中大夫公孫卿、壺遂、太史令司馬遷等人說「曆法已不能再用了，應改正曆法」。這時御史大夫倪寬懂得經學，皇上於是就命令倪寬
說：「你去同各位博士一同商議，現在要如何計算朔日？服飾要崇尚什麼顏色？」倪寬同博士賜等人討論，都說：「帝王一定要改換曆法和服飾的顏色，用來表明是受命於上天。創業後制度要更改，沒有重複的，從歷史文獻推論來看，那麼現在應使用夏正。臣下等人學識狹隘淺陋，不能明曉事理。陛下身有聖德可以與天地相匹配，臣下等人認為夏、商、周的制度，後代重複前代的，是因為二代在前面。現在二代的制度已經絕跡沒有記載了，希望陛下發聖德，廣泛考察天地四時的極限，調順陰陽以確定曆法，作為萬代的法則。」於是下詔命令御史道：「前不久有主管部門說曆法沒有確定，要求多召集一些人詢問對策，用來推算曆法的星度，但還沒有完成這件事。聽說古時候黃帝能與自然相合而不死，能根據命名的來考察進退，確定律聲的清濁，推演五行，建立了節氣、萬物、曆法的推算。但這些都是很早的事了。現在書籍缺乏，音樂廢棄，我對這件事感到很為難。左思右想，還是沒有能夠弄明白。就以元封七年為太初元年。」於是就命公孫卿、壺遂、司馬遷同侍郎尊、大典星射姓等人討論製造《漢歷》。開始確定方向，安裝測El影以定時刻的儀器，下面放上計時的漏壺，用來測算二十八星宿間隔分佈在四方的方位，最終來確定朔晦歷數春、秋分冬、夏至，Et月所運行的所在和弦望。就依照前一曆法的上元泰初四千六百一十七年，到元封七年，重新出現甲寅年，仲冬十一月甲子初一天明時冬至，日月在建星之處，太歲在於，已經得到太初星度的正確數值。射姓等人上奏表示不會計算，希望招聘研究曆法的人，重新製造更精確的計算方法，各自增減，來製作漢朝的《太初歷》。於是就選拔研究曆法的鄧平以及長樂的司馬可、酒泉的候宜君、侍郎尊以及一些民間研究曆法的人，共有二十多人，方士唐都以及巴郡的落下閎也參加了。唐都劃分天上星宿的分佈，落下閎推算歷數。他的方法是根據律度來確定歷數，說：「律的容量是一龠，積是八十一寸，正好是一天的分數。與律長相始終。律長有九寸，到一百七十一分時又重新開始，經過三次重複就成甲子。律中的陰陽數字是九和六，這是從爻象所演化而來的。所以用黃鐘來調理元氣就叫律。律，也就是法則，沒有不以律為法則的。」研究結果正好同鄧平相同。於是，大家便都來觀察新的星度以及Et月的運行，重新加以推算，與落下閎、鄧乎的結果一樣。法則是一月有二十九天八十一分之四十三。先借半天，叫做陽曆；不借，就叫陰曆。所謂陽曆，就是朔
日前可見到月亮；所謂陰曆，就是朔日後才可見到月亮。鄧平說：「使用陽曆，朔日平旦時可見到月亮，是為了方便諸侯王和群臣的朝見。」皇上便下令要司馬遷使用鄧平所造的八十一分律歷，廢除相差甚遠的十七家，又命令繼續校驗該律歷中是否還存在不正確的地方。宦官淳於陵渠又重新推算《太初歷》的晦、朔、弦、望，都比其他曆法精確，日月如璧合，五星如珠連在一起。淳於陵渠把情況報告給皇上，皇上便使用鄧平的曆法，任命他為太史丞。
二十七年後的元鳳三年，太史令張壽王給皇帝上書說：「曆法是天地的大事，是上天所為。相傳下來的黃帝《調律歷》，漢朝建立後就使用它。現在陰陽不調，是改用了《太初歷》造成的。」皇帝就命令主持曆法工作的使者鮮於妄人去質問，張壽王不服。鮮於妄人就請求與研究曆法的大司農中丞麻光等共二十多人一同觀望日月的晦、朔、弦、望、八節二十四節氣，來驗證各歷的情況。他的請求被批准了。皇上就命令丞相、御史、大將軍、右將軍史各一人一同在上林清台觀察天象，來驗證各種曆法的粗疏與精密，共有十一家。從元鳳三年十一月初一天明冬至開始，到五年十二月完成，十一家曆法都有自己疏密的次序。檢驗證明張壽王的曆法相差甚遠。實際上漢朝建立後不使用黃帝的《調律歷》，他非議了漢朝的曆法，背離天道，不是他所應說的，犯下大不敬的罪。皇上下令不要追究他的罪責。又重新觀察，用了元鳳六年一整年。結果是《太初歷》第一，即墨徐萬且、長安徐禹研究《太初歷》的結果也得出是第一的結論。張壽王以及待韶李信所研究的黃帝《調律歷》，試驗的誤差很大，又說從黃帝到元鳳三年有六千多年。丞相委託實、長安單安國、安陵梧育研究《終始》，說從黃帝以來有三千六百二十九年，與張壽王的不合。張壽王又轉移到《帝王錄》，舜、禹的年歲不合人的年齡。張壽王說伯益替代禹為天子，驪山女在殷、週年代也為天子，這些都不合經學。張壽王的曆法就是太史官的《殷歷》。張壽王歪曲地稱哪裹能得到五家的曆法，又荒謬地說《太初歷》差四分之三天，去掉小余七百零五分，因此陰陽不調，稱作亂世。有人彈劾貶張壽王官為八百石，古代的大夫，身穿儒生的衣服，述說不吉祥的話，製造怪誕的邪說想擾亂國家制度，犯大逆不道之罪。皇上批准了彈劾。張壽王觀察試驗，連續三年都屬下等，但始終不服。又彈劾他該當死罪，被赦免，張壽王便不再說了，但說他壞話的人更多，最終被交給法官審訊。所以曆法驗證在於天，從漢朝的曆法開始實施，到元鳳六年，經過了三十六年，是與非才確定了。
到孝成帝的時候，劉向匯總六種曆法，羅列出正確與錯誤，寫了《五紀論》。劉向的兒子劉趑探究其中的微妙，寫成《三統歷》和《譜》，用來解說《春秋》，所推算的精確得其要領，因此在這裹要說一說。
《春秋》一書的編年，是按照天時來進行的，依照天時來排列人事。傳說：「人呼吸到天地的中和之氣而有生命，造就是所謂的命。因此有禮、義、動、作及容貌舉止的法則來決定命，有能力的人就以此作為修養而得到幸福，不能修養的人就去敗壞它們而招致禍患。」因此就列出十二公共二百四十二年的事情，用陰陽的中和之氣來制定禮。所以春天是陽氣的中和之氣，萬物得以生長；秋天是陰氣的中和之氣，萬物得以成熟。因此事物都列舉中心部分，禮就選取諧和部分，歷數就是以閏月來協調天地之中，用來指導人們的各種活動使生活充裕，這些都是用來定命的。《周易》上金、火相革的卦說「湯、武實施變革以應天命，順應了天命和人事」，又說「研究曆法可以闡明天時的變化」，是用來與人道相應合的。
周朝王道衰微，周幽王去世後，天子不能頒布曆法，魯國的曆法又不正確，它以一年中閏還剩一作為?首。所以《春秋》一書諷刺說「十一月乙亥H朔，太陽又出現虧食」。於是斗柄指向在申，但掌管曆法的人卻認為在建戌，史書上記載在建亥。哀公十二年，也是以建申大火星在黃昏時位於西方天際的月份為建亥，卻怪冬眠的動物不去冬眠。從文公閏月沒有頒布朔日，到這時已一百多年了，不能校正歷數。因此子貢打算不送為告朔而準備的牲羊，孔子堅持要行這種禮儀，就把這種方法寫進《春秋》之中。《春秋》說：「冬十月初一，又出現日食。」《左傳》說：「沒有記日，官員有失誤。天子有日官，諸侯則有日御，日官居卿位觀測、祭祀太陽，這是禮。曰御不遺失日期的記載，以便在朝廷上告訴百官。」這是說的頒布朔。以常規而言，歷數的起始稱為元。傳說：「元，是善良的人中的佼佼者。」供養三種品德叫善。又說：「元，是體裁中最長的。」把《風》、《雅》、《頌》三種體裁合起來稱作元。在春季的三個月中，每月都記載春王正月、春王二月、春王三月等，是元的三統。三統合成一元，因此用元一乘以三的九次方形成法數，用三的十一次方作為實數。實數如法數得一。黃鐘初九，是律的頭一個，陽的變化。用六來乘，以九作為除數，就得到林鍾初六，是呂的頭一個，陰的變化。這都是參天兩地的方法。上生六就加倍，下生六就減半，都以九作為除數。
九六是陰陽、夫婦、子母的規律。律娶妻而呂生子，是天地的常情。六律六呂，十二辰就形成了。五聲中有清濁，這樣就形成了十日。《左傳》說「天六地五」，這是數的常數。天有六氣，下降則形成五味。五六是天地的中合之數，人憑藉它們得以生存。所以曰有六甲，辰有五子，相加得十一，天地的規律全都在這裹了，它們週而復始。太極中央元氣，所以為黃鐘，它的容積是一龠，用它的長來自乘，所以八十一作為日法數，因此產生了權、衡、度、量，禮和樂也由此而產生。經過萬物惟一的本源來統一開始，是《周易》中太極之首。春秋二季來表示一年，是《周易》兩儀的中間。在春天每月記載春王正月等，是《周易》三極之統。在四時即使沒有事件也要記時令和月份，是《周易》四象品質。月份有斗建之分，節氣有立春、立夏和立秋、立冬之分，這是《周易》中的八卦之位。倣傚事物的成敗，是《周易》中吉凶的驗證。諸侯定期朝見天子和霸主，是《周易》大業的根本。所以《周易》與《春秋》，是天人的規律。《左傳》說：「龜，就是形象。筮，就是數。萬物出生後才有形象，有形象後才繁衍，繁衍後才有數。」
因此原始時象數衹有一，春秋有二，三統有三，四時有四，合起來就是十，形成五體。用五乘十，得到大衍之數，道佔其中之一，還余四十九，是可以用的，所以蓍就把它作為數。用四十九二(像兩)、再乘以三(像三)、再乘以四(象四)、再加上十九(歸奇象閏)，再加上一。以其總和再乘以二，造就是月法的實數。如曰法則得一，是一月的日數，這樣天、地、人三辰的軌跡就交會了，因此能產生吉凶。所以《周易》說：「天為一地為二，天為三地為四，天為五地為六，天為七地為八，天為九地為十。天數有五個，地數有五個，五個數相加各有一個和。天數總和二十五，地數總和三十，天數、地數的總和是五十五，它們就形成了卦爻變化的依據，從而推演占卜起來有如鬼神一樣靈驗。」把天和地的終數相加為十九，《周易》的規律是窮盡以後就變化，所以是閏法。天數九的三倍，加上地數十的兩倍，是為會數。天數之和二十五的三倍，加上地數之和三十的兩倍，是為朔望之會的數。用會數來乘以朔望交會的數，就是會月的數。九倍會月又到了正月，是黃鐘初九的數。經過四季，即使沒有事件也要記下時月。時是用來記立春、立夏和立秋、立冬等節氣的，月是用來記春分、秋分以及冬至和夏至等的中氣的。立春、立夏等是節氣。春分、秋分、夏至、冬至等是中氣。節氣不必某一個月有固定的對應關係，而中氣則必須同某個月份有固定的對應關係。因此《左傳》說：「先王的正時，從開端開始，舉中氣來正月，把余曰留在後面。從開端開始，順序就不會有錯誤；舉中氣來正月，百姓就不會迷惑；把餘日留在後面，事情就不會惑亂。」這說明聖明的君王是重視閏的。用五位乘以會數，就形成朔旦冬至，造就是章月。把月法分成四份，用其中之一乘章月，造就是中法。用三乘以閏法就得周至，用周至來乘月法，以此減中法，再以通法約之，則為奇零之數七，是一個月的閏法數，所餘的是七分。造就是求中朔的方法。沒有中氣的月份叫做閏月，是說陰陽即使相交，沒有中氣，也不會生長。所以曰法乘閏法，就是統歲數。用三乘以統歲數，得元歲數。元歲之中的閏有水旱災害，用三乘閏法即五十七次。《周易》九厄說：從開始進入元年，一百零六年中，有九次旱災；再過三百七十四年，有水災九次；再過四百八十年，有旱災九次；再過七百二十年，有水災七次；再過七百二十年，有旱災七次；再過六百年，有水災五次；再過六百年，有旱災五次；再過四百八十年，有水災三次；再過四百八十年，有旱災三次。共有四千六百一十七年，與一元一起結束。經過了四千五百六十年，有災害五十七年。因此《春秋》上就說：「舉中氣來正月。」又說：「閏月不頒布朔日，是不符合禮的。閏是用來使時令正確，時是用來生產勞作，事情做了才能令萬物生長茂盛，養育人民的方法於是乎就有了。不頒布閏朔，是拋棄正時，那用什麼來治理人民？」所以表揚僖公「五年春王正月辛亥是朔日，冬至，僖公就去視朔，於是就登上觀台來觀望，然後記了下來，造就是禮。凡是春分、秋分、冬至、夏至以及立春、立夏、立秋、立冬，一定要記下天象雲氣的變化，是為了備用的緣故」。到昭公二十年二月己丑，冬至，少了一個閏月，冬至所在的月份不對。梓慎見到雲氣也發現月份不對，是不從開端開始的緣故。所以《左傳》不說冬至，而說太陽南至。太陽位於牽牛宿初度時，在中午的時候曰影最長，由此可以知道太陽是南至。北斗星的柄端連通營室，婺女宿的天區指向牽牛宿的初度，用來記曰月，所以叫星紀。五星從它的初端開始運行，曰月從它中間開始運行，共有十二次。太陽運行到它的開端是節氣的開始，運行到中間斗建處為中氣的開始，以下為十二辰。看見斗柄就知道它的運行次度。所以說：「根據禮，上供物品，不過十二，這是周天的大數。」《春秋》上記載說春王正月，《左傳》中解釋說是周朝的正月。「大火星出現，在夏代是三月，在商朝是四月，在周朝是五月。夏歷與天文現象吻
合」。對四季的安排是正確的。三代各佔據天、地、人三統中的一統，明瞭天、地、人三統常重合，所以輪流為歲首。升降三統的歲首，是周旋於五行之道啊。所以三五之數相容相生。天統開始於子之中，太陽開始出現紅色。地統發生於丑初，太陽生出黃色的光，到了丑之中，太陽生出弱光發白。人統發生在寅初，曰光萌發出現黑色，到寅之中，日光漸亮成青光。天發揮作用在子，地生萬物從丑開始結束於辰，人功自寅開始成在申。所以曆法三統術，天統首日甲子，地統首甲辰，人統首甲申，第一、第二、第三輪流為統首。三統已經形成，那麼五行從青色開始，次序是一樣的。五行與三統之數相交錯對應。《左傳》上解釋說「天有三辰，地有五行」，所以三統術和五星運行的規律可知道了。《周易》說：「三五之數的變化，錯綜複雜，概括所有的數。知道了它的變化規律，於是可以成為天下的大理論家。全部瞭解了它的範圍，遂能判定天下的變化。天上的太極運轉三辰、五星在天上，地下的元氣運轉三統、五行在地下，至於人，皇權統理人間的三德和五事。所以三辰暗合三統，H合天統，月合地統，斗合人統。五星與五行相合，水應合辰星，火應合熒惑，金應合太白，木應合歲星，土應合鎮星，三辰五星相縱橫配合運行。天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。五行相剋之數相乘，用來生成小周之數，用以乘「干」「坤」的策數，而成大周之數。陰陽對應排列，交錯相成，所以陰陽卦象的轉變生成來自於六爻。三正開始的數為「著」，三乘以「著」得「像」，二乘以「像」得十八變數而成為「卦」，再乘以四為「易」，是七十二，是三倍的三與兩倍的四相乘得出的數。三倍的「易」得「干」卦的策數，二倍「易」得「坤」卦的策數。以陽九數乘它，得六百四十八，以陰六數乘它得四百三十二，兩者相加得一千零八十的數，是陰陽各一卦相合的起始策數。用八乘它是八千六百四十，此數為八卦小成之數。以此推算，再乘以八是六萬九千一百二十，天地為二，再相乘，得十三萬八千二百四十，而後成就大成之數。大成之數是五星運行都能俱終會合的年數，再類此而推廣它，用它乘以章歲(十九)，得二百六十二萬六千五百六十，這時是五星運行輿月分、月食之分都能俱終相會合的年數，三次會合為七百八十七萬九千六百八十年，這時日分、月分、食分與五星運行都能俱終相合，這是三統之會。三倍三統之會數二干三百六十三萬九千零四十年，後又回到H、月、五星開始運行的初始之點。九乘章歲(十九)又乘六的得數，用它去除H、月、五星一次會合俱終的年數，此得數一分為二，陰、陽各是一萬一千五百二十，當是萬物的氣數，依此觀測天下，所有的事物規律就能計算完備了。