1
任何數字除以零，都不會得出一個有意義的數字來。因為除法被定義為乘法的逆轉：如果你先除以零，然後再乘以零，理應得到開始那個數字。然而，乘以零隻會得出零，不會得出任何別的數字。沒有任何數字乘以零會得出非零的結果。因此，除以零的結果實際上是“無意義的”。
1A
裡瓦斯太太進來的時候，雷內正望著窗外。
“才待瞭一個星期就要出院嗎？都談不上是真正的住院。老天知道，我可是非得長期待下去不可。”
雷內強作笑臉說：“我相信你不會待很久的。”裡瓦斯太太愛在病房裡指手畫腳。大傢都知道她的所作所為不過是做做姿態而已，但醫生助手們對她還是留瞭點神，以免她偶然成功。
“哈。他們倒是巴不得我走。你知道如果你死在醫院裡，他們要負什麼責任嗎？”
“知道。”
“可以肯定這就是他們所擔心的。始終是他們的責任——”
雷內沒有理睬，目光又重新轉向窗外，眺望一道煙霧橫過天空。
“諾伍德太太？”護士叫道，“你的丈夫來接你瞭。”
雷內又向裡瓦斯太太禮貌地一笑，然後離開瞭。
1B
卡爾再次簽瞭名字，護士把表格拿去處理。
他記得他送雷內來住院時的情景，並想起第一次面談時那些老套的問題。當時，他耐著性子，一一回答。
“是的，她是一名數學教授。你在《名人錄》裡可以找到她的名字。”
“不對，我是搞生物學的。”
以及：
“我落下瞭一盒我需要的載玻片。”
“不，她不可能知道。”
還有他預料中的問題：
“得過。那是大約二十年前我讀研究生的時候。”
“不，我是試圖跳樓。”
“不，當時我和雷內還不認識。”
如此等等，等等。
現在，他們確信瞭他能幹可靠，便準備讓雷內出院，接受門診治療。
驀然回首，卡爾心不在焉地覺得有點吃驚。在整個面談期間，除瞭短暫的一刻外，他沒有絲毫似曾相識的錯覺。和醫院、醫生、護士打交道的過程中，他的唯一感覺是麻木，是枯燥無味，是機械重復。
2
有一個著名的“證明”，得出一等於二。該證明的開始是定義：“假設a=1；假設b=1”，得出結果：“a=2a”，也就是說，一等於二。人們容易忽視的是，這個證明過程中將零作為被除數。在這一點上，該證明越過瞭雷池，使所有法則都徹底失效。允許除以零，不僅可以證明一和二相等，任何兩個數字——無論是真實的還是想象的，無論是有理數還是無理數——都可以是相等的。
2A
剛和卡爾回到傢裡，雷內就立刻走進書房，來到書桌跟前，將她的所有手稿面朝下掃成一堆。折騰期間，每當有一頁紙面朝上，她就會情不自禁地退縮。她想幹脆一把火把書稿燒瞭，但那樣做隻有象征意義。其實，隻要對它們視而不見，效果是一樣的。
醫生也許會把這種舉止描述成自我強迫性行為。雷內想起先前自己作為病人時在這些傻瓜的監護下所受到的屈辱，不禁皺起眉頭。她想起自己作為有自殺念頭的病人，被鎖在病房裡，受到醫生助手們二十四小時的監護，還要接受醫生的拷問。他們一副屈尊的派頭，說的話枯燥又乏味。她不像裡瓦斯太太，不會玩弄伎倆。其實那些伎倆很簡單，隻要說“我知道自己還沒有康復，但感覺好些瞭”，他們就會認為你差不多可以放出去瞭。
2B
卡爾站在門口註視雷內片刻，這才走過門廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出來那天的情景。他的父母來接他，回傢途中，他母親嘮叨瞭一些空洞無物的話，什麼大傢見到他會多麼高興呀等等。他竭力抑制住自己，才沒有甩開母親搭在他肩膀上的手。
他為雷內做的一切，正是他自己在被監護期間想得到的。盡管最初她拒絕見他，他還是每天都上醫院來，以便她想見他時，他在身邊。他們倆有時候交談，有時候隻是在醫院裡散散步。他沒有發現自己做的一切有什麼不對，而且他知道，她很高興他這麼做。
他確實作瞭種種努力，但他隻覺得自己在盡義務而已。
3
伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·懷特海在其合著的《數學原理》中，試圖將形式邏輯作為數學的嚴謹基礎。這部大作以他們所認為的公理開始，推演出愈來愈復雜的定理。到瞭第362頁，他們已經建立瞭足夠的定理，終於證明瞭“1+1=2”。
3A
七歲那年，雷內察看一個親戚的房子，她著迷似的發現地板上鋪的光滑的大理石地磚呈完美無瑕的正方形。一個一行，兩個兩行，三個三行，四個四行：地磚拼成正方形。無論你從哪面瞧去，形狀都一樣。更奇妙的是，每一個正方形都比前一個多出呈奇數的地磚。雷內獲得瞭頓悟。結論很自然：這種形式具有一種內在的完美，由地磚那光滑、清涼的感覺所證實。還有，地磚彼此拼接，之間的線條嚴密得天衣無縫。她為這種精確性激動得渾身顫抖。
在往後的歲月裡，她又獲得瞭其他頓悟，其他成就。二十三歲就完成令人驚嘆的博士論文，寫的系列論文好評如潮。人們將她比作諾伊曼，大學競相籠絡她。而她自己對這一切向來不在意。她在意的是那種完美的感覺，她學到的每一個定理都具有這種完美，與地磚一樣實在，一樣精確。
3B
卡爾覺得今日的他是在與勞拉相識之後才誕生的。他出院後閉門不見任何人，但一位朋友設法把他介紹給勞拉。最初，他將她拒之門外，但她理解他。他身心俱疲時她愛他，一旦他康復，她又讓他自由。認識她之後，卡爾懂得瞭什麼叫感應他人的心靈。他脫胎換骨瞭。
勞拉獲得碩士學位後繼續深造，與此同時卡爾也在大學攻讀生物學博士學位。後來，他飽受各種精神危機和心臟疾病，但再也沒有絕望過。
一想到勞拉這種人，卡爾就驚羨不已。自從讀研究生以來，他就沒有和她交談過，這些年來她的生活怎麼樣？不知她愛上瞭什麼人。他很早就認識到瞭這種愛是什麼，不是什麼。他對這種愛無比珍視。
4
十九世紀初葉，數學傢們開始探索不同於歐幾裡得幾何的幾何學。這些新幾何學得出瞭一些似乎荒謬的結果，但在邏輯上卻沒有矛盾。後來證明，非歐幾何是與歐幾裡得幾何學一致的相關學問，隻要歐幾裡得幾何學在邏輯上沒有矛盾，非歐幾何也就沒有矛盾。
但要證明歐幾裡得幾何學的一致性，這可難倒瞭數學傢們。到瞭十九世紀末葉，所取得的成就至多證明：隻要算術在邏輯上沒有矛盾，那麼，歐幾裡得幾何學就沒有矛盾。
4A
一開始，雷內隻覺得這是個有點惱人的小麻煩。當時她穿過走廊，敲敲彼得·法佈裡希辦公室敞開的門。“彼得，有空嗎？”
法佈裡希將座椅從辦公桌後推開。“當然有空，雷內，什麼事？”
雷內走進去，心裡知道他會有什麼反應。以前她從來沒有向系裡任何人請教過問題，都是別人向她請教。沒有關系。“我想請你幫個忙。幾周前我曾告訴你我正在研究的體系，還記得嗎？”
他點瞭點頭，“你想用這個體系來改寫公理系統。”
“沒錯。是這樣的，幾天前我開始得出十分可笑的結論，現在我的體系也開始自相矛盾。請你看一看，好嗎？”
法佈裡希的表情在意料之中。“你想——當然可以，我很高興——”
“太好瞭。問題就出在頭幾頁的例子裡，其餘的供你參考。”說著她遞給他一紮薄薄的手稿，“我覺得如果讓我給你從頭到尾講一遍的話，你可能會受我引導，隻能得出和我相同的結論。”
“也許你說得對。”法佈裡希瞧瞭瞧頭幾頁，“我不知道要多久才能看完。”
“不著急。等你有空，看一看我的假設是否有模糊之處，諸如此類的問題。我還會繼續研究的，到時候會告訴你我是否想出瞭新東西。好嗎？”
法佈裡希微笑道：“你準會今天下午就過來，告訴我你已經發現瞭問題。”
“恐怕不會，需要換一個人才能發現問題。”
他攤開雙手。“我試試吧。”
“謝謝。”法佈裡希不大可能充分理解她的體系，但她隻需要某個人來檢查公式的細節問題就行瞭。
4B
卡爾是在一位同事舉行的聚會上與雷內相識的。他被她那張臉吸引住瞭。那是一張異常平庸的臉，大多數時間不茍言笑，但在那次聚會期間，他看見她兩度微笑，兩度皺眉。看她笑時覺得她不會皺眉，看她皺眉時又覺得她不會笑。卡爾很吃驚；他能夠辨認出什麼樣的臉經常微笑，什麼樣的臉經常皺眉，但是對她那張臉，他卻捉摸不透。
他花瞭很長一段時間來瞭解雷內，讀懂她的表情。不過，這無疑是值得的。
此時，卡爾坐在書房裡的安樂椅上，膝蓋上放著一本最新一期的《海洋生物學》雜志，他在傾聽雷內在客廳對面她自己的書房裡揉皺紙張的沙沙聲。整個晚上她都在工作，可以感覺出她愈來愈焦躁不安。不過他進去察看時，她又板起平時那張沒有表情的臉，絲毫看不出什麼來。
他將雜志放到一邊，再次起身走到她的書房門口。隻見書桌上攤開一冊書，書頁上佈滿難以辨識的公式，點綴著用俄語寫的評註。
她瀏覽著一些資料，難以覺察地皺皺眉，啪的一聲合上。卡爾聽見她嘀咕瞭一聲“沒用”，然後將書放回書架。
“這樣下去你會弄出高血壓的。”卡爾取笑道。
“別以我的保護人自居。”
卡爾吃瞭一驚，“我沒有。”
雷內轉身瞧著他，怒目相對。“我知道自己什麼時候工作有效率，什麼時候沒有。”
心一涼。“那麼，我就不打擾你瞭。”他退瞭出去。
“謝謝”說完，她的註意力又回到書架上。卡爾離開瞭，竭力揣測她的瞪視的含義。
5
在一九〇〇年舉行的國際數學大會上，大衛·希爾伯特列出瞭二十三個懸而未決的重大數學問題。他列出的第二大問題是請證明算術在邏輯上的一致性。這個問題一旦被證明，就將保證高等數學許多內容的一致性。就本質而言，這個證明所能保證的是這一點：不可能證明一等於二。認為這個問題具有重大意義的數學傢寥寥無幾。
5A
法佈裡希還沒有開口，雷內就知道他要說什麼瞭。
“這簡直是我見過的最要命的東西。還不大會走路的幼兒會把不同斷面的積木嵌進不同形狀的槽子裡，你知道那種玩具嗎？讀你的形式體系，就好像觀看一個人把一塊塊積木滑進木板上的每一個洞裡，每一次都做得天衣無縫。”
“這麼說來，你發現不瞭錯誤？”
他搖搖頭。“發現不瞭。我滑進瞭和你相同的套路，隻能用你的方法思考這個問題。”
雷內卻已經不在老套路上瞭；她另辟蹊徑，想出瞭一個截然不同的路子來解決這個問題，但卻僅僅證明瞭原先的體系確實存在矛盾。“不過，還是謝謝你費心瞭。”
“你要另外找人看一看嗎？”
“是的。我想寄給伯克利的卡拉漢看看。去年春天那次會議以來，我們一直保持著聯系。”
法佈裡希點瞭點頭，“他上次發表的一篇文章真的給我留下很深的印象。如果他發現瞭問題，請一定告訴我。我很好奇。”
雷內會用比“好奇”更強烈的字眼來形容她自己的心情。
5B
雷內對自己的研究感到絕望瞭嗎？卡爾知道她從來不覺得數學真的困難，而隻把它當成一種智力挑戰。難道她是第一次遇到無法突破的難題？或者說，數學本身就是無解的嗎？嚴格說來，卡爾自己是一個實驗主義者，並不真正懂得雷內是怎麼創造新的數學體系的。雖說聽上去有點傻，但是——她是靈感枯竭瞭嗎？
雷內是成年人，不會像神童那樣，因為發現自己正在成為平庸的成年人而感到幻滅的痛苦。另一方面，許多數學傢在三十歲之前就達到事業的巔峰。雖然她離三十歲還有幾年，但也許她對這個年齡界限逼近自己而感到焦慮。
似乎不大可能，他又漫無邊際地想瞭其他幾種可能性。她會不會對學術感到愈來愈悲觀？是對自己的研究過於專業化而感到悲哀嗎？再不然，純粹是對自己的工作感到厭倦瞭嗎？
卡爾並不相信這些焦慮是雷內行為古怪的原因。果真是這樣的話，他覺得自己肯定會發現蛛絲馬跡。但他現在得到的印象卻全然不是這麼回事。令雷內感到苦惱的無論是什麼，反正他猜不透。這使他感到煩惱。
6
一九三一年，庫爾特·哥德爾證明瞭兩大定理。第一個定理實際上表明：數學包含或許是真實的，但在本質上卻無法證明的陳述。甚至簡單如算術的形式系統也可以包含精確、有意義，而且似乎是真實無疑的陳述，但卻無法用形式方法加以證明。
他的第二個定理表明：斷言算術具有邏輯上的一致性，這就是上面所說的那種陳述之一，采用算術公理的任何方法都不能證明其真實性。也就是說，作為一種形式系統的算術無法保證不會得出一等於二這樣的結果。這樣的矛盾也許永遠不會遇到，但卻無法證明絕對不會遇到。
6A
卡爾再次走進雷內的書房。她站在書桌前，抬頭看他。他鼓起勇氣說：“雷內，顯然是——”
她打斷他，“你想知道我煩惱的原因嗎？好吧，我告訴你。”說著便拿出一張白紙，在書桌前坐下，“等一下，這需要一點時間。”卡爾又張開嘴，但雷內揮手示意他保持沉默。接著，她深深地吸瞭一口氣，開始寫起來。
她畫瞭一條線，穿過紙的中央，將紙分成兩欄。然後，她在一欄的頂部寫下數字1，另一欄的頂部寫下數字2。接著她在這兩個數字下面迅速地畫瞭一些潦草的符號，又在這些符號下面把它們擴展成一串串別的符號。她邊寫邊咬牙切齒，寫下那些文字時，感覺好像她正用指甲刮過黑板似的。
寫到紙的三分之二左右時，雷內開始將長串長串的符號縮短成連續的短串符號。她心裡想，現在要到關鍵處瞭。她意識到自己用力過大，下意識地放松握在手中的鉛筆。在她寫出的下一行上，符號串變成一樣的瞭。接著，她重重地畫瞭個“=”號，橫過紙的底部中心線。
她將紙遞給卡爾。他望著她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照辦瞭，“再看一看最下面。”
他眉頭緊鎖。“我還是看不懂。”
“我發現瞭一種體系，可以使任何數字等於任何別的數字。這張紙上就證明瞭一和二是相等的。你隨便挑兩個數字，我都可以證明它們是相等的。”
卡爾似乎竭力在回憶什麼。“裡面肯定出現瞭以零為被除數的情況，對嗎？”
“不對。沒有不符合規則的運算，沒有不嚴謹的術語，沒有想當然假定的獨立公理，全都沒有。證明過程絕對沒有采用任何規則禁止的東西。”
卡爾搖瞭搖頭。“等一下。顯然一和二是不相等的。”
“但在形式上它們是相等的，證明就在你手裡。我使用的一切方法都是絕對無可爭議的。”
“但你得出瞭一個矛盾的結果？”
“說對瞭。也就是說，算術作為一種形式系統，是不一致的。”
6B
“你找不出錯誤來，這就是你的意思嗎？”
“不對，你沒有明白我的意思。你以為我是因為這個才焦頭爛額的嗎？證明本身並沒有錯誤。”
“你的意思是說，用的方法都是對的，結果卻出瞭錯？”
“正確。”
“你肯定——”他戛然而止，卻太晚瞭。她瞪著他。她當然可以肯定。他想知道她到底想得出什麼結論。
“你懂嗎？”雷內道，“我已經推翻瞭大半個數學，這門學問全都沒意義瞭。”
她焦躁起來，幾乎快發瘋瞭。卡爾小心翼翼地選擇字眼，“你怎麼能這麼說？數學仍然有用。科學和經濟並不會因為你這個領悟而突然崩潰的。”
“這是因為他們使用的數學純粹是騙人的把戲，是一種口訣式的小玩意兒，跟用指關節來計算哪些月份有三十一天一樣。”
“不一樣。”
“為什麼不一樣？現在，數學與現實絕對毫無關系。且不說像虛數或者無窮小數之類的概念，就連該死的整數加法都跟用指頭計算毫無關系。你用指頭計算，一加一始終等於二，但在紙上我可以給你無窮多的答案，這些答案全都同樣有效，這也意味著它們全都同樣無效。我可以寫出你見過的最優美的定理，但它卻不過是一個瞎扯淡等式。”她苦笑起來，“實證主義者曾經說一切數學都是同義反復。他們錯瞭；數學是自相矛盾。”
卡爾試瞭試另一種方式。“等一下。剛才你提到的虛數這類想象出來的概念，大傢不也一樣接受瞭嗎？現在不也可以這樣嗎？數學傢們曾經相信虛數沒有意義，可是現在它們成瞭數學的基礎概念。情況完全是一樣的呀。”
“不一樣。當時的解決方法隻是擴展語境，用在這裡不起作用。虛數給數學增添瞭新的內容，而我的形式系統卻是給已經存在的東西下定義。”
“但是，如果你改變語境，從不同的角度探索——”
她翻瞭個白眼。“不可能！這個體系是從和加法一樣明白無誤的公理得出的結果，無法繞過。我可以擔保。”
7
一九三六年，格哈德·根岑提出瞭一種對算術一致性的證明，可是要作出證明，他需要采用一種有爭議的方法，即人們所知道的超限歸納法。這種方法不屬於正常的證明方法，因此似乎難以恰當地保證算術的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法來證明顯而易見的東西。
7A
卡拉漢從伯克利大學打電話來說他也不能雪中送炭，但表示願意繼續研究她的論文，似乎她觸及瞭某種本質的，而又令人不安的東西。他想知道她是否打算發表她的形式體系，如果這個體系的確包含他們兩人都無法發現的錯誤，數學界肯定會有其他人能夠發現。
雷內幾乎沒有聽他說話，隻是嘀咕以後會打電話聯系他。近來，她與人講話很困難，尤其是那次與卡爾爭論以來，情況更糟糕。系裡的同事們都盡量避開她。她顯得心不在焉。前一天夜裡她做瞭一個噩夢，夢見自己發現瞭一種形式體系，可以使她將主觀概念轉換成數學語言，然後，她證明瞭生與死是相同的。
有一種可能性讓她十分驚恐：她可能正在失去理智。她的思維肯定已不再清晰，這與失去理智已經相差無幾瞭。
她責備自己，你是一個多麼可笑的女人。哥德爾證明他的不完全定理後自殺瞭嗎？
但是，哥德爾的定理是優美的，讓人肅然起敬，是雷內所見過的最優美的定理之一。
而她自己的證明卻嘲諷她，譏笑她。就好像益智書中的一道難題，它說：這下我可把你難住瞭。你跳過這個錯誤，查看自己在哪兒出瞭問題，結果繞瞭一圈又兜回來，那個難題再一次對你說：又把你難住瞭。
她估計卡拉漢也會考慮她的發現對數學的意義。數學的許多內容並沒有實際用處，她的理論也可以僅僅作為一種形式而存在，研究它隻是為瞭它所包含的智力美。但這是不能持久的。自相矛盾的理論實在太無意義瞭，絕大多數數學傢隻會厭惡地置之不理。
使雷內真正感到惱火的是她自己的直覺出賣瞭她。那個該死的定理大有道理。它以自己怪異的方式給人一種感覺：它是正確的。她理解它，知道它是真實的，並且相信它。
7B
想到她生日那天的情景，卡爾微笑起來。
“我不相信！你怎麼可能知道？”她手裡抱著一件毛衣跑下樓來。
去年夏天，他們倆在蘇格蘭度假。愛丁堡一傢百貨商店有一件毛衣吸引住瞭雷內的目光，但當時她沒有買。於是他訂購瞭這件毛衣，放在她的梳妝臺抽屜裡，等那天早晨給她一個驚喜。
“你這個人太容易被人一眼識破瞭。”他取笑她。夫妻倆都知道這不是真話，但他還是喜歡這樣告訴她。
那是兩個月前的事情瞭。差點兩個月。
現在情況不同瞭，需要改變一下做法。卡爾走進雷內的書房，發現她正坐在椅子上眺望窗外。“猜一猜我為我們倆搞到瞭什麼？”
她抬起頭來。“什麼？”
“周末遊。我在比爾特莫爾訂瞭一套房間。我們可以放松放松，什麼都不做——”
“請別說下去瞭。”雷內說，“卡爾，我明白你的心意。你想讓我們做點愉快的事情，好讓我散散心，不去想這個形式體系。但這不起作用。你不知道我承受的是什麼樣的壓力。”
“算瞭吧，算瞭吧。”他拉住她的手，想把她從椅子上拉起來，可是她掙開瞭。卡爾稍站片刻，突然，她轉過身來，死死盯著他。
“我想吃安眠藥，這你知道嗎？我幾乎希望自己是一個白癡，用不著去思考形式體系。”
他大吃一驚，不知道說什麼好。“你至少可以嘗試離開一段時間，為什麼不呢？有益無害呀，說不準能分散你的心思呢。”
“沒有什麼可以分散我的心思。你不明白。”
“那就解釋給我聽吧。”
雷內呼出一口氣，轉身想瞭一下。“這就像我看見的一切都在向我大喊大叫那個矛盾。”她說，“現在我一直在給不同的數字畫等號。”
卡爾陷入瞭沉默。突然間，他懂瞭。“這就好像面對量子力學問題的古典物理學傢們。仿佛你一直相信的理論給取代瞭，而新的理論又沒有意義，但不知怎麼回事，所有證據卻都支持這種新理論。”
“不對，壓根兒不是那麼回事。”她幾乎對他的說法嗤之以鼻，“這與證據沒有絲毫關系；這完全是先驗的。”
“怎麼沒關系？你的推理和證據之間互相矛盾，這不正是你的問題嗎？”
“基督呀，你在開玩笑嗎？我測算一和二相等，現在我的直覺也告訴我它們相等。我腦子裡再也沒有不同數量這個概念瞭，它們對我來說全都是相同的。”
“你不是這個意思吧。”他說，“事實上誰也不可能經歷這種事情。”
“你怎麼知道我能夠經歷什麼呢？”
“我在盡力去理解。”
“別操那份心瞭。”
卡爾失去瞭耐心。“那好吧。”說著他走出房間，取消瞭預訂。
從那之後，夫妻倆彼此寡言少語，隻有必要時才說話。三天後，卡爾把他需要用的一盒載玻片落在傢裡，便驅車回傢取，到傢後發現桌子上有一張妻子的留言條。
接下來，卡爾產生瞭兩個直覺。他飛奔穿過房子，邊跑邊納悶她是否從化學系搞到瞭氰化物。就在這時，他產生瞭第一個直覺：他意識到因為不明白是什麼原因導致她做出這種事，所以對她沒有什麼同情之類的感受，沒有任何感受。
當他一邊猛敲臥室門，一邊向屋裡的她吼叫的時候，他產生瞭第二個直覺：一種記憶錯覺。這種情形似曾相識，卻又逆反得荒謬。他記得自己曾經待在一座建築物房頂的一道鎖著的門內，聽見一位朋友在外面一邊猛力敲門，一邊向他吼叫別尋短見。此刻他站在臥室門外，聽見她羞愧地癱倒在地板上哭泣，與他當年待在門裡面時的情形毫無二致。
8
希爾伯特曾經說過：“如果連數學思維都有缺陷，我們還能在哪裡找到真理與確定呢？”
8A
雷內暗自納悶：她自殺未遂會給自己的一生蒙上陰影嗎？她把書桌上的論文整理好。從此以後，人們會下意識地把她視為行為反復無常的人嗎？她從來沒有問過卡爾他是否也有過這種焦慮，也許是因為不願對他提起當年他自殺的事。那是多年以前的事瞭，如今，任何見到他的人都會立刻知道他是一個健全的人。
然而，雷內卻不能說自己是個健全的人。眼下，她不能理性地討論數學，而且不敢肯定將來她是否能夠恢復理智。現在，如果她的同事見到她，會不會說她已經喪失瞭數學才華？
做完案頭的工作，雷內離開書房，走進起居室。她的形式體系傳遍數學界後，將徹底動搖根深蒂固的數學基礎，但是隻有少數人會受到她這樣的影響。大多數人會像法佈裡希一樣，機械地理解她的證明，被它折服，但僅此而已。能同她一樣感受深切的隻有那些能夠真正領會其中的矛盾，並能夠憑直覺感知這種矛盾的人。卡拉漢就是其中的一位。她心想，隨著時間的推移，不知他會如何對付這個矛盾。
雷內用手指在鋪滿灰塵的茶幾上畫瞭一條曲線。如果是在以前，她可能會確定曲線的參數，分析曲線的一些特點。而現在，這一切似乎都毫無意義瞭。她的想象力簡直崩潰瞭。
同許多人一樣，她以前一直以為數學並不從宇宙那裡獲得意義，而是賦予宇宙以意義。物理實體無所謂大或者小，無所謂相同或者不相同，它們純粹是存在。數學是完全獨立的，它實際上賦予這些物理實體以語義，提供范疇和關系。它並不描述任何內在的品質，僅僅提供一種可能的闡釋。
然而，這一切都不復存在瞭。數學一旦從物理實體分離出來，就不一致瞭，而一種形式理論如果不一致，就變得毫無意義。算術是經驗主義的，僅此而已，引不起她的任何興趣。
那麼，現在她改行幹什麼呢？她知道曾經有個人放棄學術研究去賣手工皮革制品。她需要一段時間重新找回自我，而這正是卡爾一直努力幫助她做的。
8B
卡爾的朋友中有兩個女人，馬琳和安娜，她們倆也是知心好友。幾年前，馬琳曾經想自殺，她並沒有尋求安娜的幫助，而是求助於卡爾。有幾次，卡爾和馬琳坐在一塊兒，通宵達旦，或促膝談心，或默默相視。卡爾知道安娜一直對他和馬琳之間的心靈相通有一點兒嫉妒。他究竟有什麼奧妙，能走進馬琳的心靈，對此安娜一直感到納悶。其實答案很簡單。這就是同情與共鳴之間的差異。
卡爾一生不止一次在類似的情況下給予他人安慰。不用說，他為自己能夠幫助他人感到高興，但還不止這個。他覺得替別人設身處地，把自己當作另一個人，這種感覺很好。
迄今為止，他一直有理由認為富有同情心是他的本性。他珍視這一點，覺得自己如果不能與他人產生共鳴就一無是處。可是，現在他卻遭遇到他前所未遇的事情，在這件事面前，他平時的本能不起任何作用瞭。
如果有人在雷內生日那天告訴他，兩個月後他就會有這種感覺，那他隻會一笑置之。當然，這種事情有可能會在幾年後發生，卡爾知道時間的力量。可是兩個月？
結婚六年後，卡爾對雷內的愛淡漠瞭。他憎惡自己有這個想法，但事實是她變瞭，現在他既不理解她，也不知道如何設身處地替她著想。雷內的理智和情感交織在一塊，密不可分，因而她的情感也令他不可捉摸。
隨之而起的是自我寬恕的條件反射。他這樣想：你不可能要求別人在任何危機中都始終如一地支持你。如果一個人的妻子突然患瞭精神病，那麼她丈夫離開她是一種罪惡，但卻是情有可原的。廝守在妻子身邊就意味著接受一種不同的關系，這種關系並不適合每一個人，所以卡爾絕不譴責這種處境下的任何人。然而，始終存在一個沒有提出來的問題：我怎麼辦？而他的回答始終是：我要待下去。
偽君子。
最糟糕的是，他曾經也有過同樣的遭遇。他曾經沉浸在自己的痛苦裡，曾經折磨過別人的忍耐力，有人始終如一地呵護他。他離開雷內是不可避免的，但那將是一種他永遠不可能寬恕的罪惡。
9
阿爾伯特·愛因斯坦曾經說過：“隻要數學定理描述現實，它們就不是確定的；隻要它們是確定的，就不描述現實。”
9A=9B
卡爾在廚房裡剝豆子準備晚餐時，雷內走進來說：“可以和你談一下嗎？”
“沒問題。”夫妻倆坐在餐桌旁。她故意眺望窗外；這是她即將開始嚴肅談話時的習慣。他突然對她要說什麼害怕起來。在她完全康復之前，他並不打算告訴她他要離開，而她康復還需要幾個月的時間。現在還為時過早。
“我知道我們一直沒有明說——”
別，他暗自祈禱，別說出來，請別說。
“——不過，有你守在我身邊，我真的十分感激。”
一針見血，卡爾閉上眼睛。謝天謝地，雷內依然望著窗外。情況將變得非常非常糟糕。
她仍然在說：“一直縈繞在我腦際的東西——”她停頓瞭一下，“絲毫不像我所想象的一切。如果那是常見的抑鬱，我知道你會理解的，而且我們可以對付。”
卡爾點瞭點頭。
“可是，情況是這樣的，我幾乎像一個在證明上帝並不存在的神學傢。我並不隻是懷有這種擔心，而是知道這是事實。這聽起來很荒唐嗎？”
“不。”
“我無法向你表達這種情感。這曾經是我深信不疑的東西，但現在它卻不是真實的，而且還是我自己證明出來的。”
他張開嘴，想說他完全明白她的意思，他與她有同樣的感受。但他沒有說出來。因為這種感應將使他們分離，而不是凝聚在一起，所以他不能告訴她。
[後記]
有一個著名的公式：eπi+1＝0。第一次意識到這個公式可以推導出什麼來時，我吃驚得合不攏嘴。讓我詳細解釋一下。
我們最推崇的是這樣的小說結尾：出乎意料，卻又無可避免。當然，我們也知道，所謂無可避免，其實並不真的是無可避免，隻是由於作者的才能，我們才覺得這種結局無法避免。
再回頭看上面那個公式。它才是真正的出乎意料。你很可能會無數次擺弄e、π和i的值，卻意識不到其中的機關。在這種情況下，你就會覺得這個公式是無可避免的，它隻能這樣，這時你就會產生一種敬畏，好像你突然發現瞭一個絕對真理。
今後，也許會有人證明數學其實並不具備人們一直相信它具備的一致性，所謂數學的美隻是虛幻。在我看來，世間再沒有比這更煞風景的事瞭。
王榮生 譯