你是一所大學的心理學系主任，正在主持一次奇怪的實驗，實驗對象是人。一個人A坐在桌邊，接受心理學考試；另一個人B坐在他對面，監視他的進展。B面前有一個按鈕。B被告知，摁下這個按鈕將使A受到懲戒性的、痛苦的電擊（但是不會造成永久性傷害）。瓊斯教授會定時走到A的旁邊，指出一個錯誤答案，然後指示B摁下按鈕。
實際上A是瓊斯教授的同夥。按鈕沒有接通任何東西，當按鈕被摁下時，A假裝很痛苦。瓊斯進行這次實驗的唯一目的是測試B，看他是否會執行「懲罰」A的命令。瓊斯的一貫主張是，在權威人物的授意下，大多數人會執行殘酷的命令。瓊斯在10個不同的B身上做過實驗，其中8個人摁下了按鈕。
瓊斯教授沒有意識到，他本人正處於卡夫卡式的陷阱中：他，瓊斯本人，其實是你的實驗對象。你的興趣是研究心理學實驗中的「附加因素」，即「實驗者偏見效應」。在心理學實驗中，當一個研究者期望某個特定結果時，他得到這種結果的可能性更大。研究傾向於支持研究者的一貫主張——這意味著研究過程有問題。
換一種研究方法，可以消減或消除實驗者偏見效應。在檢驗新藥的實驗中，實驗以「雙盲」方式進行，一些實驗對像服用新藥，另一些實驗對像服用安慰劑（不含任何有效成分）。在結果出來以前，實驗對像和實驗者都不知道對方的情況。這種設計防止了實驗者對新藥的熱情感染服藥者。
但是在某些心理學研究中，雙盲設計幾乎不可能。實驗者必須知道正在發生的情況。他期望他的實驗對像變得像納粹一樣凶殘，於是，大多數實驗對像果然如其所願。相反，另一個實驗者史密斯教授相信人本性善良，做了相同的實驗，並報告說，在10個實驗對像中只有一個人摁下了按鈕。這不是有意欺騙，這是在潛意識下進行的欺騙。史密斯和瓊斯都傾向於按照對自己有利的方式解釋模稜兩可的結果。當瓊斯讓其實驗對像摁下按鈕之時，其態度比史密斯更嚴厲、更專橫。二者在選擇實驗對像B時都可能有意挑選特定的人以獲得期望的結果。這兩位研究者都沒有意識到這一點，但是他們創造的預言具備自我實現的力量。
如果實驗者偏見效應比較強，那麼對實驗對象的研究將會受到強烈的影響。假設你說服了一個大基金會資助你的實驗，你的實驗對象是其他一些對實際情況一無所知的心理學家。這個基金會給你足夠多的錢，你可以資助瓊斯、史密斯以及許多其他的研究者。你並不關心這些人在他們自己的實驗中發現什麼，你唯一的目的是檢驗存在於研究者的偏見和他的結果之間的可疑的相關性。你已經觀察了許多心理學家，他們個性各異，都在對不知情的人類實驗對像進行各種類型的一切可設想的實驗。證據是明顯的：實驗者偏見效應巨大而普遍。在90%的情況下，心理學實驗的結果就是實驗者期望的結果。
現在問題出現了。這個結果本身正是你所期望的。如果你的研究是正確的，那麼針對人類實驗對象的心理學實驗結果就是無效的。你的研究也是一個針對人類實驗對象的心理學實驗，因此，你的研究是無效的。但是如果你的研究無效，我們就沒有理由相信實驗者偏見效應，而你的研究也很可能是有效的，因為你的研究揭示了無效的研究……
第22條軍規
小仲馬（Alexandre Dumas Fls）說過：「所有全稱命題都是危險的，包括本命題在內。」這句話與上文的討論相比，不僅有表面上的相似性，而且，「期望悖論」也令我們回想起約瑟夫·海勒（Joseph Heller）在《第22條軍規》中描述的悖論性的情景：
只有一條軍規（即第22條）具體提到，面對真實而緊迫的危險時，心智健全對個人的自身安全是至關重要的。奧爾瘋了，因此他可以停飛。他需要做的只是提出要求。他一旦提出要求，就說明他不是瘋子了，他必須繼續執行任務。如果他繼續執行任務，他就是瘋子；如果他停止執行任務，他就是心智健全的。如果他是心智健全的，他就不得不繼續執行任務。如果他繼續執行任務，那麼他就是瘋子，他就不必執行任務了；但是如果他不想執行任務，就說明他心智健全，必須繼續執行任務。
比較一下普羅泰戈拉（Protagoras，約公元前480年—公元前411年）的著名故事（這個故事很可能是假的）。普羅泰戈拉是智者學派的開創者，也是古希臘最早的收費教師。一個跟隨他學法律的學生和他達成協議：學生在打贏第一場官司之後將支付學費。這個學生不受理案件，想以此逃避交學費。普羅泰戈拉不得不起訴學生以討回學費，學生則為自己辯護。如果學生輸了，他不必付學費；如果他贏了，他也不必付學費。
（無論如何，故事就是這麼講的。也許有人這樣設想：如果學生在他「是否可以推遲受理第一場官司」這個問題上贏得勝利，那麼普羅泰戈拉可以立刻向學生索取學費，有必要的話，他可以再次起訴，因為學生已經板上釘釘地違約了。）
以上這些悖論的一個共同之處是，悖論中有一個概念（或集合）可以自我包含。期望悖論的癥結在於，這個實驗研究的是以人作為對象的這一類實驗，而這個實驗本身就屬於這一類別。關於包含自身作為元素的集合，最經典的表述是羅素的「理髮師悖論」：在某個鎮上，理髮師給每個不自己刮鬍子的人刮鬍子。更確切地說，他給且僅給不自己刮鬍子的人刮鬍子。那麼，他是否給自己刮鬍子呢？這時，這個理髮師無法遵行這個規定。如果他不給自己刮鬍子，他就必須給自己刮鬍子；如果他給自己刮鬍子，他就不能給自己刮鬍子。
以上這些都是偽裝成謎題的悖論。乍一看似乎有個答案等待被發現，而一旦你找到了答案，你會說：「啊哈！就是這麼回事！」但是，隨後你會發現這個答案站不住腳。無論你怎麼想，結果都是不可能的。
這樣的事有可能嗎？
面對這類悖論，一種常見的反應是懷疑它們是否「可能」，也就是說，它們是否可能在真實世界中發生。在某些場合，答案是一個肯定的「是」。普羅泰戈拉的訴訟有可能發生（法官會面臨困難的抉擇）；軍方可能制定令人糊塗的、自相矛盾的規定（這樣的規定很可能已經有了）。某個理髮師可能為鎮裡除他本人以外的每一個不給自己刮鬍子的人刮鬍子——這使得大家對他做出了一個與羅素的說法一樣的判斷，雖然他還是不能真正地符合這個判斷。
實驗者偏見效應已經得到了真實實驗的支持。（人們甚至為「實驗者偏見效應」創造了一個專門的字母縮寫：Ebe。）1963年，羅伯特·羅森塔爾（Robert Rosenthal）和福德（K. Fode）報告說，有三個研究顯示了顯著的實驗者偏見效應。羅森塔爾和福德指派許多大學生去進行以人作為實驗對象的假實驗。他們向實驗對像出示不同種類的人的照片，讓實驗對像判斷照片上的人正在「經歷成功」還是正在「經歷失敗」。大約一半主持實驗的學生受到引導並相信他們的實驗對像將傾向於回答「成功」；其他的學生則受到引導並期待他們的實驗對像回答「失敗」。最後，對假實驗的實驗報告進行比較。由於每次假實驗獲得的結果應當相同，所以如果結果有差異，則應當認為差異是由實驗者的期望造成的。羅森塔爾後來進行的研究進一步探索了實驗者偏見效應。羅森塔爾極其關注這種效應，甚至主張未來的針對人類的實驗也許不得不由自動化的程序引導，以避免這種效應帶來的偏差。
其他研究者無法再現羅森塔爾的發現。1969年的《咨詢與臨床心理學雜誌》把爭論推向高潮。這份雜誌接連發表了一系列文章：西奧多·色諾芬·巴伯（Theodore Enophon Barber）及其同事仔細地重複了羅森塔爾的實驗，但是發現完全沒有支持實驗者偏見效應的證據。於是，羅森塔爾進行辯護性的反駁，巴伯又發表了火藥味十足的反駁。雙方在學術上的吹毛求疵演變為暴躁的潛流，最後導致了這樣一個冷冰冰的聲明：「羅森塔爾主張實驗者偏見效應在男女混校的州立大學比在其他類型的大學或學院更易於發現，如果他的主張是嚴肅的，他應當拿出證據支持這個主張。」（羅森塔爾反駁巴伯說，巴伯的重複實驗是在女子學院進行的，對此巴伯做出了如上回應。）
隨後的實驗進一步削弱了顯著的實驗者偏見效應的證據。1968到1976年，至少有40項研究顯示，不存在統計上的明顯的實驗者偏見效應，另外6項研究發現了實驗者偏見效應的較弱的證據。
為了使期望悖論在現實世界中存在，必須確保期望效應既普遍有效又無法避免。如果只是某些心理學家受到這種效應的影響，不會產生問題。這樣，實驗者本人可以是一個小心謹慎、頭腦冷靜的心理學家，而他的同事馬馬虎虎，他可以研究同事的失誤。正如「所有克里特人都說謊」這個悖論要求有一個克里特人把它說出來，所有此類實驗的不可靠性也需要一個同類的實驗表達。
在現實中，期望效應不大可能表現為普遍的現象。因此，即使某個實際研究宣稱發現了這種效應，這個研究本身也未必會陷入悖論的漩渦。
但是，如果某個實驗真的確定了「所有針對人類的實驗得出的結果都是無效的」這個結論——包括確定這個結論的實驗本身在內，將會如何呢？這有可能發生嗎？[1]
「假」和「無效」是有差別的。如果一個實驗的結果是假的，它就是假的。但是，如果這個實驗僅僅是無效的（由於粗心的操作、缺乏控制等），那麼它的結果可能是真的，也可能是假的。一個無效的實驗可以支持一個碰巧為真的假說（我們可稱之為「蓋梯爾實驗」）。
對於說謊者悖論，假定其為真，則推出其假，而假定其為假，則推出其真。但是在這裡，我們討論的是期望效應實驗的真/假，還是有效/無效？問題並非一目瞭然。我們先列出所有的可能性，就像處理邏輯謎題一樣。
（a）假定研究結果為真。如果它是真的，就意味著針對人類的心理學實驗是不可信的。（這並不是說這些心理學實驗得出的結果必然是錯誤的，只是說這些結論不能完全從實驗中得出。）因此，本研究本身也是不可信的。其結論可能是真的——我們其實已假定其為真，但是本研究並不構成其結論的有效證據。這個研究是一個蓋梯爾實驗。這種情況不無諷刺意味，但它的確是一種可能狀態。
（b）假定研究結果為假。也就是說，不存在普遍的期望效應。這個研究結果可能為假，它應當由於其他原因為假。（如果結論為假，那麼研究就一定是無效的。）這又是一種可能狀態。
（c）假定研究是有效的。於是，結論是真的，而且實驗是無效的——這是矛盾的。
（d）假定研究無效。於是，結論可真亦可假：沒有矛盾。
簡單地說，如果某人做了一個研究，表明實驗者偏見效應是普遍存在的，那麼有以下三種可能：結論碰巧是真的，但是研究是無效的，研究不足以支持其結論，這屬於情況（a）；結論是假的，研究無效，這屬於情況（b）；研究是無效的，真假不定，這屬於情況（d）。以上三種批評都是合理的。無論如何，三種情況都表明：研究是無效的。
但是，如果有一群獲得過諾貝爾獎的科學家組成了一個委員會，由這個委員會指導該研究，付出了最大的努力以確保研究的有效性，我們該如何評價此項研究呢？他們設計了前所未有的嚴謹的研究體系，包括細緻的控制、統計檢驗、仔細地校驗各個環節，以保證研究無可置疑地有效，並且正確地斷言：所有針對人類的心理學實驗（包括本研究在內）都因潛意識的實驗者偏差而無效。
這個問題的核心其實就是說謊者悖論，只不過把「真」替換成「有效」了。一個有效的研究恰好斷言其自身的有效性是不可能的。我們的討論進入了探討不可能性的領域。
可能世界
「可能世界」是哲學中的一個非常著名的概念。為什麼世界是這個樣子的？這是一個很自然的問題。為什麼會有邪惡？我們能提出這個問題就足以說明，我們可以設想一個沒有邪惡的世界，這個世界與真實存在的世界截然不同。我們有理由認為，這種構想「可能世界」的能力是人類智力的最基本的部分之一。我們在生活中做出了無數的選擇，所有這些選擇無論大小都以想像力為基礎。你想像了一個世界，在這個世界裡，你在今天下午洗了車；你又想像了另一個世界，在那個世界裡，你在今天下午沒洗車。比較這兩個「可能世界」，然後決定你更樂意生活於哪一個當中。
第一個廣泛使用「可能世界」這個概念的西方著述者是德國數學家、哲學家萊布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716）。萊布尼茨感到奇怪，為什麼上帝在創造世界的時候在所有的「可能世界」中選擇了這一個。萊布尼茨給出了一個獨特的答案：因為這個世界實際上就是所有的「可能世界」中最好的一個。他設想，這個世界中的痛苦和不幸達到絕對意義上的最小值。在造物主那裡做出的任何一點改動，任何希望在這裡或那裡做一點兒修正的企圖，都將把整個世界變糟。這種難以置信的觀點再現於伏爾泰的諷刺小說《老實人康迪德》（Candide）中，書中人物潘格洛斯博士（Dr. Pangloss）受到萊布尼茲的啟發。康迪德無法相信，一個沒有發生過里斯本地震（1755年，4萬人喪生）的世界怎麼會不如我們的真實世界好。
20世紀60年代，索爾·克裡普克（Saul Kripke）、戴維·劉易斯（David Lewis）、拉科·欣蒂卡（Jaakko Hintikka）等哲學家復興了可能世界哲學。為了避免誤解，我們澄清一下什麼是「可能世界」。它指的不是在宇宙中的另一個星球。一個「可能世界」是一個完整的宇宙，它有自己的過去、現在和未來。我們可以談論一個德國人打贏了「二戰」的「可能世界」，我們甚至可以談論那個「可能世界」的公元1萬年。人們經常用單數的「可能世界」表示實際上的一類「可能世界」。一定存在著不止億萬個德國人打贏了「二戰」的「可能世界」，其中的每一個都在某些細節上與其他的不同。存在著（或者說看來存在著）無窮多個「可能世界」。我們生活於其中的那一個「可能世界」被稱為「真實」世界。
即使這樣一個純哲學的概念也有其限度。如果任何一種隨意的想像都構成一個「可能世界」，那麼這個概念也就沒什麼用處了。多數哲學家同意，談論一個並非「可能世界」的世界是有可能的。
雖然我們可以說出這樣一個句子：「1+1不等於2的世界」，但是這並沒有描述一個「可能世界」。類似地，「6是質數的世界」、「有四條邊的五邊形的世界」、「里斯本地震既發生過又沒發生過的世界」、「林肯比斯大林個頭高、斯大林比拿破侖個頭高並且拿破侖比林肯個頭高的世界」都不表達可能世界。
（有人對此表示異議。雖然任何人都無法設想一個1+1不等於2的世界將是什麼樣的，但是冥頑不化的懷疑論者還是可以提出疑問：我們怎麼能保證這樣一個世界是不可能存在的呢？大多數關於「可能世界」的哲學討論都遵循一個基本規則：我們的邏輯在其他「可能世界」中無論如何也會生效。不然，我們就沒法思考它們了。）
有多少個「可能世界」
說某事是不可能的（不同於僅僅是假的）意味著在任何一個「可能世界」中它都不能為真。有多少個不同的「可能世界」？這是哲學中最深刻的問題之一。
索爾·克裡普克主張，像「金的原子序數是79」這樣的事實在任何「可能世界」中都是真的。大多數人則認為這種觀點難以接受。看來很容易想像一個世界，其中金的原子序數是78、80或17。關於金的原子序數，在你整個一生中你很可能從來都不知道，或者沒在乎過。表面看來，想像一個金的原子序數不同的世界與想像一個你的電話號碼或車牌照改變了的世界沒什麼兩樣。真是這樣嗎？
根據元素在週期表中的位置可以推測其性質。在表中，金位於銀和銅之下，而性質與這二者在許多方面相似：密度大、柔軟、惰性、金屬類、導電性極好。如果金的原子序數加1或減1它在週期表中的位置會變化，而性質也應當不同。
假設金的原子序數是78。在週期表中它將位於鎳和鈀下面，而性質應與這二者相似。它應當還是密度大的金屬，但是性質會更接近鋁（實際上鋁的原子序數是78）。如果「金」在所有方面與鋁相似，它還是金嗎？
你可以堅持說，在週期表中其他元素的原子序數也會減1，於是金的相對位置保持不變。金是78號元素、鋁是77號元素，以此類推。但是如果這樣，在週期表的開端將不得不刪掉一個元素。被刪掉的應當是氫，這種元素構成恆星，目前是宇宙中最普遍的元素。一個沒有氫元素的宇宙是如此的奇異，以至於我們甚至無法相信它有多奇異。
克裡普克斷言，從化學家的角度說，元素的屬性或多或少地、不可避免地由其原子序數決定。設想在某個世界中氦不是惰性氣體與設想在某個世界中1+1不等於2沒有太大差別。確定一下，某個世界是否可能不像其表面看起來那麼簡單！
也許有一天，我們的物理知識會達到與化學同樣完備的程度。也許電子、夸克、光子的屬性遵循某些根本的原則，就像化學元素排列符合週期表一樣——是可以設想的。「超弦」理論試圖提供這樣的理論。如果這類理論是正確的，許多似乎可能的奇異世界（例如質子比中子質量大的世界，電子的尺寸如同高爾夫球大小的世界等）也許會被排除。物理學家甚至懷疑，真實世界就是唯一的「可能世界」。物理定律，甚至世界的初始狀態也許已經被嚴格的邏輯預先規定了，我們幾乎沒有設想的餘地。
悖論和可能世界
「這個句子是假的」是一個悖論——當我們做出這個斷言時，意思是說，在任何一個「可能世界」中這個語句都不能正確地描述自身。我們可以從兩個方面分析：（1）如果這個句子是真的，那麼這個句子是假的；（2）如果這個句子是假的，那麼這個句子是真的。我們可以任意設想在某個世界中這個句子是真的或者假的，但是無論怎麼設想，都會導致矛盾。
拉科·欣蒂卡利用「可能世界」定義知識。增加一個人的知識就意味著減少與此人的知識相容的「可能世界」的數量。例如，我們知道的所有事情都與半人馬座阿爾法星系內存在生命相容；同時，我們知道的所有事情都與半人馬座阿爾法星系內不存在生命相容。也就是說，如果有一個世界在各方面都與我們的真實世界相同，唯獨在半人馬座阿爾法星系內是否存在生命這一點上與我們的真實世界不同，我們的知識不足以鑒別這兩個世界有何差別。而一旦我們知道了實際上半人馬座阿爾法星系內是否存在生命，就有一半的可能性被排除掉了。
科學發現消減相容的「可能世界」的數量。我們很自然地想問，這個消減的過程可以進行到什麼程度。在欣蒂卡看來，完全知識意味著徹底排除所有的「可能世界」，只剩下一個世界——即真實世界。
請注意全知與悖論之間的微弱差別。對於一個完全無知的人來說，與他的知識相容的「可能世界」的數目有無窮多；對於一個擁有完全知識的人來說，「可能世界」的數目被限制為一個。如果「可能世界」的數目被限制為0，會怎麼樣呢？某個人遭遇了這樣一種困境：他發現所有的「可能世界」都與他的知識矛盾，他的已知事實集合包含矛盾。看來悖論頂多只能證明這不是一個「可能世界」。
博爾赫斯在《烏龜的化身》一文中推測，悖論作為線索揭示了世界是不真實的：
讓我們認可唯心主義的主張：世界在本質上是虛幻的；同時，讓我們採取非唯心主義的方法：尋找世界是非真實性的證據來證實世界的虛幻本性。我認為，在康德的二律背反和芝諾的矛盾中可以發現這樣的證據。
「最偉大的魔法師（諾瓦利斯令人難忘地記錄過）可以向自己施展法術，其法術如此高超，以至於他本人在魔法的控制之下而渾然不覺，以為自己在自由地行事。我們不就處於這種狀態中嗎？」我猜想情況就是這樣。完滿的神在我們體內驅使我們，令我們夢到了世界。我們夢到一個穩固、神秘、可見的世界，它在空間中瀰漫、在時間中延續；但是我們承認，在這個世界的結構中存在細微而永遠無法修補的非理性的裂縫，這些裂縫告訴我們，所謂的這個世界其實是個夢。
序言悖論
我們都見過謙虛得過分的序言——作者（在感謝自己的配偶和打字員之後）聲明對「在所難免」的錯誤負責。你很可能覺得奇怪，既然他對於錯誤的存在如此有把握，為什麼他不回去把錯誤改過來，而只是做一個空洞的說明。受這種「不作為」現象的啟發，梅金森（D. C. Makinson）提出了「序言悖論」（1965）。這個悖論與期望悖論和意外絞刑悖論都有聯繫，它「證明了」除非是在文學作品中，否則這種情況不能發生。
一位作者寫了一部巨著，他認為此書屬於非文學作品。書中有許多命題，他仔細地檢查過這些命題。一位朋友讀了這本書，聳聳肩說：「任何一部篇幅如此長的書中至少有一處錯誤。」「在哪兒呢？」作者要求朋友指出來。但朋友斷言，雖然他還沒發現任何錯誤，但是所有的長篇非文學類著作都會包含一兩個錯誤。作者勉強接受了朋友的說法。朋友說：「這麼說，你的讀者沒有理由相信你書中的全部命題。」
「你看，」朋友說，「隨便挑出一個命題。」他隨機地翻到一頁，找到一個陳述句。「我們暫且不看這個命題。我用手指擋住這個命題，讓你看不見它。你是否相信，在這本書中除了這個命題以外的所有命題都是真的？」
「當然。除非我信以為真，否則我不會把命題寫進書中。我有非常合理的理由相信它們。」
「好極了。你已經同意：這本書中至少包含一個錯誤，儘管你我都未能發現錯誤。既然你相信書中至少有一處錯誤，而且你相信除了這個命題以外的所有命題都是真的，於是，你必須相信我正用手指擋著的這個命題是假的，否則你的觀念就是自相矛盾的。我只是隨便挑出了一個命題做例子。其實我可以把任何一個命題拿出來，進行完全相同的推理。對於書中的任何一個命題，你都不能合理地相信它是真的。」朋友下了結論。
為了避免誤導讀者，這個作者為這本書加了一個序言作為警告：「本書中至少有一個命題是錯誤的。」
如果這本書中包含一個（或多個）錯誤，則這個作為序言的命題是正確的。如果這本書中除了這個作為序言的命題以外沒有任何錯誤，則這個作為序言的命題就是錯誤的。於是，這本書中確實有一個錯誤，而作為序言的命題是正確的。但是如果作為序言的命題是正確的，那麼本書中就沒有錯誤，作為序言的命題就是錯誤的……在再版時插入一系列的勘誤表也無助於解決這個問題！[2]
合理的觀念必須是相容的嗎？
確實有許多作者在實際的序言中承認有錯誤。小庫爾特·馮內古特（Kurt Vonnegut Jr.）的小說《貓的搖籃》就有這樣一篇序言：「本書中的東西統統是假的。」這與梅金森的序言悖論不一樣，它是更直接的矛盾。不過好在馮內古特的書是文學作品，只要這個序言不應用於自身，它還是正確的。按理說，這個序言本身是真正的馮內古特（而非小說中的人物）寫的，所以序言不是文學性的。當序言涉及自身時，就產生了一個說謊者悖論。
序言悖論使我們回想起數學家威廉·尚克斯畢生悲劇性的工作。他一生致力於計算圓周率，他在計算第528位小數時出了錯，導致以後的全部工作都無效了。設想你正在寫一本名為「圓周率的數字」的書。書的第一頁上寫著：「圓周率的第一個有效數字是3。」此後的每一頁都承續上一頁記錄圓周率的十進制小數的下一個數字。你用手搖計算器得出數字。你是個有水平的數學家，採用的是公認有效的算法。因此，你有理由相信自己算出的每一個數字都是對的。
當你算到第1 000位的時候，你發現，你很可能已經在計算中犯了至少一個錯誤。哎喲！你的處境比梅金森的序言悖論還要糟。計算新的一位數字依賴於先前的計算結果（就像在長除法中一樣）。你不能直接確定圓周率的第1 000位數字，在此之前，你必須先確定第999位數字，而為此你必須確定第998位數字，依此類推。如果在計算某一位數字時出了錯，那麼隨後的所有數字都是無效的。這就好比豎起1 000張多米諾骨牌，一旦第307張骨牌倒向右側，其後的每一張骨牌都會倒下。如果在前1 000位數字中至少有一處錯誤，則第1 000位一定是錯的。[3]同樣，第999位、第998位以及此前的一長串數字很可能也是如此。
和期望悖論一樣，序言悖論質疑了在涉及歸納概率的、沒有確定性的場合下演繹推理的作用。由於科學家借重於概率更甚於確定性，這個問題值得深思。
我們的世界觀由一系列觀念構成，這些觀念大體上是真實、合理的（至少我們是這樣認為的）。序言悖論提出一個問題：在合理的觀念之中是否可能包含邏輯矛盾。請注意，在悖論內部包含著悖論。書的作者有這樣一個觀念：書中的每一個命題單獨考慮都是真的，但是以整體上來說書中一定包含錯誤。這個觀念包含矛盾。假定這本書做出了1 000個不同的判斷，這些判斷都是正確的，而且相互一致；而序言中的聲明（「本書中至少有一個命題是錯誤的」）是第1 001個判斷。這就產生了一個極為奇異的矛盾：雖然全部1 001個判斷構成的整體是自相矛盾的，但是從中任意取出1 000個判斷，則這1 000個判斷在邏輯上相互一致。
在小亨利·E·屈貝裡（Henry E. Kyburg Jr.）提出的「彩票悖論」（1961）中，概率的地位更加明顯。任何一個買彩票的人都不能合理地期望贏，因為結果相反的概率太大了。但是事實上總會有某個人贏，如果每個人都預計自己不會贏，則與這個事實矛盾。在實際生活中這個可疑的推理鏈條又向前推進了一步。「既然一定會有某個人贏，你怎麼知道這個人就不是我呢？」這個想法不符合理性推斷，但是國家彩票的廣告詞就是這麼說的。屈貝裡認為，一個人的合理觀念的集合可能在邏輯上是矛盾的。
梅金森的序言悖論和屈貝裡的彩票悖論涉及的深層問題在於，大量觀念彙集在一起可能把矛盾隱藏起來。在一個由100萬個命題構成的集合中，某個單獨的命題可能會引入一個微妙的矛盾。請考慮這個連鎖推理：
1.艾麗斯是個邏輯學家。
2.所有邏輯學家都吃豬排。
3.所有吃豬排的人都是克里特島人。
4.所有克里特島人都是說謊者。
5.所有說謊者都是出租車司機。
……
……
……
999 997.所有得克薩斯人都是富人。
999 998.所有富人都是不快樂的。
999 999.所有不快樂的人都吸煙。
1 000 000.艾麗斯不吸煙。
省略號表示其他前提，即第6~999 996條。其中每一個命題都是「所有的X都是Y」這種形式，我們最終可以推出，所有的邏輯學家都是吸煙者，由此得到艾麗斯吸煙。這與第100萬條前提矛盾。因此，這個命題集合是不可滿足的（自相矛盾的）。
沒有哪個前提格外值得注意。有趣的是，去掉任何一個前提都會使得整體變成可以滿足的。例如，去掉前提4，則得到艾麗斯是克里特島人，所有說謊者都吸煙，艾麗斯不吸煙（因此艾麗斯不是說謊者）。
在這個例子中，所有前提以整齊的次序排列，因而不難看出其中的矛盾。如果這100萬個前提打亂次序隨機排列，要想發現其中的自相矛盾之處就非常困難了。如果其中某些命題採取了更複雜的形式，難度則更大。一個觀念集合如同一個博羅梅奧環（Borromean Ring），或是那種抽出一片就使整體散架的智力玩具。每個命題的作用都會在整個集合中傳播開來，對整體產生影響。
波洛克毒氣室
一旦陷入悖論，人們的第一個反應是放棄一個（或更多）導致矛盾的初始假設。問題是，我們如何決定放棄哪個觀念？約翰·L·波洛克（John L. Pollock）根據證實規則解決了序言悖論。他通過下面這個思想實驗展示了證實規則：
一個房間有時會充滿綠色的毒氣。為了警告那些可能想進入的人，這個房間設計了一個警示系統。這個系統（由一個委員會設計）這樣工作：通過門上的窗戶可以看見房間裡的一盞警示燈。當人們可以安全進入時，燈是綠色的（表示「通過」）；當房間裡有致命氣體時，燈是白色的（在某些亞洲國家白色代表死亡）。
糟糕的是，當房間裡有毒氣時，燈實際上是白色的，但是綠色的毒氣使得燈看起來是綠色的，因此，這個系統無法使用。無論房間裡有沒有毒氣，燈看起來總是綠色的。委員會設法解決了這個缺陷。在距警示燈幾英吋的地方安裝了一個閉路電視攝像頭，視頻信號傳給房間外的彩色監視器。無論房間裡是否有毒氣，監視器都會精確地再現警示燈的顏色。在門上有一個警示牌，上面寫明：「不要理會通過窗戶看到的燈的顏色，以電視監視器反映的顏色為準。」
波洛克用這個組裝的警示系統比喻我們關於世界的不完善的知識。燈或綠或白，但是我們不知道是綠還是白。從窗戶中看，燈是綠色的。表面證據讓我們相信燈是綠色的。但是在電視屏幕上，燈看來是白色的。這個理由讓我們相信燈是白色的。但是燈是綠色的意味著它不能是白色的，反之亦然。在這兩個原本可信的猜想中，我們必須放棄一個。
波洛克注意到，拒斥一種觀念的方法不止一種。你可能會說：「通過窗戶看燈是綠色的。根據經驗我知道，大多數窗戶是用無色玻璃做的，玻璃不會使顏色走樣。空氣也是無色的。因此，通過玻璃看燈是綠的便有了一個合理的理由，我相信燈是綠色的。如果燈是綠色的，那麼它不能是白色的。因此它不是白色的。」
當然，你可以同樣容易地做出如下推理：「從電視監視器上看，燈是白色的。物體的顏色通常與彩色電視機反映出來的一樣——這就是我們買彩色電視機的全部原因。因此，從監視器上看燈是白色的是一個合理的理由，我相信燈是白色的。如果燈是白色的，那麼它就不能是綠色的。因此它不是綠色的。」
這樣，我們得到了一個小型的悖論。從有限的幾條觀察出發，推出了一個矛盾。每個推理都對另一個構成針鋒相對的反駁，反駁看來是以最強烈的方式進行的。
解決方案很明顯。實際上，燈一定是白色的，和電視屏幕上反映的一樣。但是我們採用的不是上面的第二個推理。上面的第二個推理不見得比第一個強——也許還稍微弱一些。（當我們在電視上看到的與親眼所見的相衝突時，我們很可能更相信自己的眼睛。）我們有另一個理由支持燈是白色的——根據房門上的警示牌。
一切經驗性的觀念都有可能是錯誤的。我們可能得知某些東西（一個敗因），因而放棄了一個過去的觀念——這種情況總有可能發生。有兩種類型的敗因：直接反駁型和釜底抽薪型。
直接反駁型的敗因直截了當地指出一個觀念是錯誤的。一旦得知在哥本哈根動物園有一群白烏鴉，這就直接反駁了「所有烏鴉都是黑色的」這個猜想。我們還是有很多證據（見到黑色烏鴉的所有目擊證據）證明這個猜想，而且這些證據依然是有價值的，但是我們不得不承認這個猜想是假的。
釜底抽薪型的敗因則揭示，支持此觀念的證據是無效的。得知你實際上是一顆「缸中之腦」就是一個釜底抽薪型的敗因，使得你相信的關於外部世界的一切東西都失效了。一個釜底抽薪型的敗因使我們用一種新視角來審視支持某個猜想的證據，顯示出這個證據其實不能用來證明這個觀念。當然，觀念本身也許碰巧還是真的，但是提供支持的證據不足。
初看起來，直接反駁型敗因強於釜底抽薪型敗因。但是波洛克認為，實際上釜底抽薪型敗因優先於直接反駁型敗因。二者的差別如同有趣的論辯與無趣的論辯之間的差別：在無趣的論辯中，針鋒相對的雙方各自指責對方是錯誤的；在有趣的論辯中，他們指出為什麼對方是錯誤的。
關於燈的兩種結論（基於從窗口獲得的證據，它是綠色的；基於從電視屏幕獲得的證據，它是白色的）都有經驗理由支持，而二者互為對方的直接反駁型敗因。這種相持不下的局面只能通過警示牌解決，警示牌屬於釜底抽薪型的敗因。它解釋了透過綠色的毒氣看見綠色的燈，燈的綠色可能是假象。這使我們有理由拋棄一個觀念而堅持另一個。
釜底抽薪型敗因優先的原則有助於我們理解本章中的大多數悖論（也包括意外絞刑悖論）。在序言悖論中，作者的朋友針對一個挑選出來的命題所做的論證是一個直接反駁型的敗因，這個論證只是說此命題是錯誤的，並不解釋為什麼是錯誤的。這個論證與這個命題本身沒有直接關聯。實際上，這個被擋住的命題的內容從來沒有進入討論過程。
作者可以用一個釜底抽薪型敗因反駁朋友的論證。朋友的推理立足於書中包含錯誤這一觀念。我們也許有非常好的經驗理由（在其他書中都發現了錯誤和排印問題）支持這個觀念，但是，一旦我們發現事實上除了朋友挑出的命題以外，所有書中命題都是正確的，這個理由肯定會遭到破壞。如果非要認為書中一定包含一個錯誤，那麼唯一的可能就是，朋友挑出的這個命題是錯誤的，但是沒有理由認為，這個命題出錯的可能性比其他命題更大。在必須做出選擇的時候，我們應當求助釜底抽薪型敗因。
序言悖論其實是一個玩笑。我們一直很清楚，朋友的推理是錯誤的，問題只不過是說明錯在哪裡。相比之下，期望悖論更難被攻破。訴諸釜底抽薪型敗因，可以得到如下解決方案（當然這個方案未必是定論）：
如果一個論證指出某個實驗的結果是假的，那麼這個論證屬於直接反駁型敗因；如果一個論證指出某個實驗是無效的，那麼它屬於釜底抽薪型敗因。在關於期望效應的實驗中，兩種敗因出現衝突。在這種情況下，根據波洛克的理論，我們應當優先考慮揭示無效性的理由，而非揭示錯誤性的理由。
考慮這個悖論的加強版：一個由著名科學家組成的超一流委員會指導這個實驗，因而我們確信實驗的有效性。直接反駁型敗因是這樣的：如果實驗結果是真實的，那麼實驗必定是無效的。然而，由於我們知道實驗是有效的（根據指導委員會的權威性），所以結果一定不是真實的（根據否定後件式推理）。
釜底抽薪型敗因是這樣的：如果實驗既有效又真實，那麼潛意識的期望已經危及了實驗本身。這樣，我們遺憾地得出結論：實驗是無效的。（需要指出，在這兩種敗因中，後一種更有道理。）
最後討論一下意外絞刑悖論。（當天數較多時，這個悖論與序言悖論的命題數較多的情況類似。）囚徒的推理反駁了他在一周內的任何一天被絞死的可能性（直接反駁型敗因）。這樣一組觀念又構成了對自身進行顛覆的釜底抽薪型敗因，因為劊子手在瞭解了囚徒的觀念以後可以在任何一天行刑。釜底抽薪型敗因優先的原則使我們接受奎因的結論：囚徒是錯誤的。
你可能會問，在什麼條件下我們才能下結論說，某個命題得到了確切無疑的確立。答案是：永遠不能。這說明以不可失效性作為「知道」的第四條標準是有麻煩的。任何觀念都不能在敗因面前免疫——包括「這是一個敗因」這樣的觀念。
一個門衛走到波洛克毒氣室門外檢查監視器。他嘀咕道：「夥計，用這玩意兒警告大伙是一個天大的玩笑。除非某個人因此送了命，否則他們是不會有什麼行動的。」他一邊抱怨著，一邊扭動顯示器的旋鈕調整了一下，燈泡的圖像變成了鮮艷的綠色。
[1] 這個問題有點不著邊際。一個由實驗確立的結論只能是歸納式的結論，所以不可能有普遍性——一旦認識到這一點，這個問題就沒必要討論了。如果一定要把這個實驗的結論應用於這個實驗本身，那不過是外推，而外推的失敗再正常不過了。——譯者注
[2] 作者對序言悖論的理解和介紹與常見的版本不同。一般認為，序言悖論的要點在於「相信」。根據常識，某人既相信A又相信B，則可以推出，此人相信「A並且B」。序言悖論顛覆了這種想法。但是從作者的分析看，他顯然把「相信」替換成了「是真的」。——譯者注
[3] 這個數字有1/10的概率是正確的。如果它碰巧正確，則構成一個蓋梯爾反例。