復合命題的命題公式

標點符號

正如我們在以上例子中看到的，圓括號、中括號以及大括號可以被用於指示各個邏輯聯結詞的轄域，以消除公式中的歧義。當通過邏輯聯結詞把一個復合命題與一個簡單命題（或者另一個復合命題）連接在一起時，圓括號是確定各個聯結詞轄域的首要選擇。對於一個比較複雜的復合命題，可能需要中括號，而對更加複雜的復合命題，則使用大括號來確定轄域。因此，最先使用小括號，然後是括號，最後為大括號。在專欄11-2中，我們列出了一些正確使用它們的例子。

專欄11-2　標點符號

復合命題（P ·Q）∩R是一個條件式，而P·（Q∩R）是一個合取式。如果沒有中括號，P · Q∩Rˇ～S是有歧義的，因為在該公式中，哪個聯結詞是主聯結詞並不明確。它允許有兩種解釋，一種是條件式，另一種是析取式。最後，在～{[（P · Q）∩R] ˇ～S }中，主聯結詞是最左邊的否定，它影響著整個公式。這可與～[（P· Q）∩R]ˇ～S進行比較。現在，在沒有大括號的條件下，否定詞的轄域是由中括號括起來的條件命題，而整個公式是一個析取式，而非否定式。

合式公式

一個公式表示一個命題。不論它是簡單的還是復合的，只要它在我們正在使用的符號系統中是可接受的，它就是合式的。為了確定一個復合公式是否為合式公式，確定其真值聯結詞的轄域是至關重要的。

在否定的轄域內，緊跟的是簡單或復合命題。否定是唯一一個一元聯結詞，其轄域或是簡單命題，或是復合命題。對於其他聯結詞，在它們的轄域內均有兩個公式（簡單的或復合的）。合式公式通常需要標點符號來標識出各個聯結詞的轄域。

回想上述例11-52b，即（L∩K）·（K∩L）。它是包含兩個條件式的合式公式，使用小括號來消除歧義。在這裡，小括號是為了表明這個復合命題是由兩個條件式的合取構成的。

即使兩個公式中的命題符號完全相同，改變標點的位置也可以產生不同的命題。例如，我們考慮L∩〔K ·（K∩L）〕。它是一個條件式，其前件為簡單命題，後件為復合命題（是一個簡單命題與一個條件命題的合取式）。如果它為假，那麼可以引入否定詞而得到～{L∩[K ·（K ∩L）]}。這些都是合式公式。但是，專欄11-3中的公式不是合式公式。

專欄11-3　某些「不合式」的公式

P～Q

P～

PˇQ · P

復合命題的符號化

接下來，我們將仔細考察一些復合命題。首先，請考慮如下例子：

例11-55　福克斯新聞在電視上播放。

因為在這個命題中沒有聯結詞，所以例11-55可以被符號化為一個簡單命題：

例11-55a　F

與之不同的是，例11-56包含一個否定詞，因此是復合的。例11-56可以被符號化為例11-56a。

例11-56　哥倫比亞廣播公司的新聞不在電視上播放。

例11-56a　～C。

現在考慮例11-57，它是例11-57a的簡化形式。

例11-57　福克斯新聞在電視上播放，而哥倫比亞廣播公司的新聞不在。

例11-57a　福克斯新聞在電視上播放，而哥倫比亞廣播公司的新聞不在電視上播放。

上面兩個語句都是包含合取和否定聯結詞的復合命題。然而，它們的主聯結詞是合取，其轄域是整個復合命題。否定聯結詞的轄域僅僅是第二個命題。確定轄域的原則如下：

否定聯結詞的轄域總是那個緊跟在波浪形符號之後的命題。該命題可以是簡單的或者復合的。在有些情況下，為了消除歧義，以獲得一個正確的符號表達，我們需要使用標點來指明哪一個復合命題位於否定聯結詞的轄域之內。

在例11-57中，因為否定詞的轄域非常明確，在對它進行符號化時，不需要使用小括號：

例11-57b　F·～C

如果已知F和C都為真，那麼上面這個公式的真值是什麼？使用否定聯結詞的真值規則，可以知道～C為假，再使用合取的真值規則可以知道例11-57也為假。

接下來，讓我們確定例11-58中的主聯結詞。

例11-58　如果哈利（Harry）和馬吉爾（Miguel）是球隊的球員，那麼比爾（Bill）就不能在隊裡。

例11-58是一個條件式，其前件和後件都是復合命題。我們可以用符號把它表示為：

例11-58a　（H · M）∩～B

例11-58a的前件是H與M的合取式H · M，後件是B的否定式～B。為了表明主聯結詞是條件形式，例11-58a的前件需要使用小括號，因為否定詞的轄域很明顯是B。

假設H和B為真，M為假，我們來計算上述公式的真值。給定這個假設，例11-58a是真的，因為其前件為假。在這種情況下，其後件～B為假並不重要，為什麼？因為依據條件式的真值規則，前件為假就足以使得整個條件式為真。例11-58a的前件是假的，因為其中一個合取支M是假的。我們回憶一下，依據合取式的真值規則，一個合取支為假就足以使得整個合取式為假。因為包含假前件的條件式為真，在當前這個假設下例11-58a為真。同時，用自然語言表示的相應句子，即例11-58，也為真。

再考慮一個例子：

例11-59　蝙蝠（Bats）是夜行動物，當且僅當「或者金魚（Goldfish）是哺乳動物，或者金花鼠（Chipmunks）屬於囓齒目」。

我們用「B」表示「蝙蝠是夜行性動物」，用「G」表示「金魚是哺乳動物」，而用「C」表示「金花鼠屬於囓齒目」。主聯結詞為條件聯結詞，其左邊是一個簡單命題，而右邊是一個析取命題。例11-59可以用符號表示為：

例11-59a　B≡（GˇC）

令B和C為真，G為假。由於已知B的值，為了確定整個雙條件式的真值，我們需要知道GˇC的值。因為這個析取式至少有一個真的析取支C，所以它是真的。由於例11-59a的支命題具有相同的真值，所以它是真的。

使用相同的符號，我們來表示下列兩個命題：

例11-60　並非「要麼金花鼠屬於囓齒目，要麼它們不屬於囓齒目」。

例11-60a　～（Cˇ～C）

例11-61　下列情況是假的：「蝙蝠是夜行動物」等價於「如果金魚是哺乳動物，那麼金花鼠屬於並且不屬於囓齒目」。

例11-61a　～{B≡[G∩（C·～C）]}

對於命題C、B和G，在與上述相同的賦值條件下，可以計算出例11-60a是假的。這是因為，當C為真時，析取式Cˇ～C為真，而例11-60a是該析取式的否定。同時，例11-61a也是假的，這是因為它是一個值為真的雙條件式的否定式。在這個雙條件式中，兩個子公式具有相同的真值。因為[G∩（C ?～C）]的前件和後件都假，該條件式為真。C ?～C為假，因為該合取式包含了一個假的合取支，～C。

下面是一些建議。在計算一個復合命題的真值時，如果已知各個簡單命題的真值，可以依據如下步驟：

（1） 在各個簡單命題符號的下方標出該命題的真值。

（2） 找出主聯結詞。它是最終結果將要被標記的地方。

（3） 使用聯結詞的真值規則，先計算較複雜命題內部的相對簡單的復合命題的真值，再計算外部命題的真值。

（4）假設你想計算～[（E?L）∩（Mˇ～F）]的真值，而且你知道E和L是真的，M和F是假的。你可以按照步驟（1）～（3），建構下圖：