使用真值表定義聯結詞

接下來，我們討論真值表。它可以被用於機動地確定一個復合命題的真值。但在進入這一話題之前，我們首先使用它來定義上述真值函項聯結詞。

否定。為了使用真值表來定義否定，需要記住如下規則：

專欄11-4　否定式的真值規則

一個否定式是真的，當且僅當被否定的命題是假的；否則，它是假的。

真值表是通過如下方式來定義否定的：規定簡單命題P的否定式～P何時為真，何時為假。

為了構造這樣的真值表，我們首先在左上角寫上不加否定聯結詞的P，右上角寫上～P。然後在左邊P下方的列中，寫出P的所有可能的真值，即T（真）和F（假），因為：

對於任意命題，它要麼為真，要麼為假。

然後，在右邊～P下方的列中，寫出相應的真值。這些真值是依據P的真值和否定式的真值規則，通過計算求得的。對於左側列中的每一行，通過運用專欄11-4中的規則，可以得出右下方框所顯示的真值：

第一行：當P為真時，～P為假。

第二行：當P為假時，～P為真。

其他真值函項聯結詞。為了定義其他真值函項聯結詞，首先要注意的是它們都涉及兩個命題，且各個命題的真值均有兩種可能：T（真）或F（假）。這決定了寫在真值表左側各列中的真和假的數目。為了計算每一列中T和F的總數，我們使用公式2n。其中，2表示任意命題具有兩種可能的真值，n表示出現在公式中的不同命題的數目。在否定式的定義中，只有一個命題，因此n等於1，而2n代表兩個真值：一個是T，一個是F。但是，對於合取式、析取式、條件式和雙條件，它們均包含兩個命題，分別表示為P和Q。這時，n等於2，而2n代表每個命題被賦予四個真值。在左邊第一列中，我們自上而下指派四個真值：T、T、F和F。在左邊第二列中，自上而下指派T、F、T和F。將要確定真值的那個公式位於表的右上方。在該公式的下面，每一行所填的真值是依據該行左邊的真值和相應的真值規則通過計算而得到的。現在，我們為剩下的每一種復合命題構造真值表。

合取。為了使用真值表來定義這個聯結詞，需要記住如下規則：

專欄11-5　合取式的真值規則

一個合取式是真的，當且僅當其合取支都是真的；否則，它是假的。

真值表的左側有兩列，每一個析取支被賦予四個真值，兩個T、兩個F。水平的四行是使用專欄11-5中的規則計算出來的真值組合。右側方框中的結果表明一個合取式是真的，當且僅當它的兩個合取支都為真。

析取。使用真值表定義這個聯結詞，需要記住如下規則：

專欄11-6　析取式的真值規則

一個析取式是真的，當且僅當至少有一個析取支是真的；否則，是假的。

析取式真值表的左側共有兩列，每個析取都有四次賦值，兩次T、兩次F。水平的四行是使用專欄11-6中的規則計算出來的真值組合。最終的結果填寫在右邊那一列，其意義與析取聯結詞的定義相同；它表明一個析取式是真的，當且僅當，至少有一個析取支是真的。

實質條件。為了使用真值表來定義這個聯結詞，請記住如下規則：

專欄11-7　實質條件式的真值規則

一個實質條件式是假的，當且僅當其前件為真，並且後件為假；否則，該實質條件式為真。

和前面一樣，真值表的左側有兩列，每一列包含給前件（後件）賦予的四個真值，即兩個T和兩個F。表中水平的四行是通過應用專欄11-7中的規則計算出來的可能的真值組合。右側方框中的結果就等價於實質條件的定義。它表明：除前件真、後件假之外，在其他所有情況下，實質條件式均為真。

實質雙條件。為了使用真值表來定義這個聯結詞，需要記住如下規則：

專欄11-8　實質雙條件式的真值規則

一個實質雙條件式是真的，當且僅當它的兩個支命題具有相同的真值；否則，它為假。

在這個真值表的左側有兩列，每一列給公式中的簡單命題指派四個真值（兩個T和兩個F）。四個水平的行是通過應用專欄11-8中的規則計算出來的。真值表的結果在右側方框中。這個真值表就等價於實質雙條件式的定義。該真值表表明，只有在雙條件式的兩個支命題具有相同真值的情況下（即它們要麼皆為真，要麼皆為假），它才是真的。

上述的五個真值表為五個真值函項聯結詞提供了定義。接下來，我們可以用類似的方法來確定其他復合命題的真值。