第12章 核查命題邏輯論證的有效性

用真值表檢查有效性

正如我們看到的，真值表可以提供確定一個復合命題是否重言、矛盾或者偶真式（或然式、可滿足式）的程序。而且，這是一種可行方式，在有窮步驟內應用特定規則就可以產生結果。但是，這裡將要詳細闡釋真值表的另一個用途：真值表可以使我們機動地確定一個論證形式是否有效。考察下列論證：

例12-1　1. 水牛（buffalo）或者叢林狼（coyotes）是食草動物。

2. 水牛是食草動物。

3. 叢林狼不是食草動物。

為了確定例12-1是否有效，首先需要獲得它的論證形式。第一步，我們把例12-1的前提和結論翻譯成標準的符號語言，可以得到：

例12-1a　1. BˇC

2. B

3.～C

第二步，使用逗號斷開前提，在結論前面填上「∴」，讀作 「所以」，把上述縱向排列形式轉化成如下橫向排列形式：

例12-1a　BˇC，B∴～C

現在可以使用真值表檢測這一形式的有效性。首先，我們在真值表的右上角輸入上述公式，左上角輸入公式中出現的所有簡單命題。其次，依據2n計算所有簡單命題的真值組合，這個公式的值應該是22（因為出現的簡單命題只有B和C）。完成這些之後，我們集中考察表示前提和結論的較短的公式，並依次計算出它們的真值。按照第11章所描述的標準方式進行計算。最後一步，我們（按照本章將要解釋的方式）檢查上述論證是否有效。檢查上述例12-1有效性的真值表是：

例12-2

例12-2中表示前提和結論的所有公式的值都被計算出來了。如何做到這一點呢？可以如此推理：第一個前提是析取式，已知B和C的真值，應用析取的真值規則可以計算出整個析取式的真值。楔形符號下面，右邊第一欄表示的是計算的結果。因為第二個前提B是簡單命題，我們不可能使用聯結詞的真值規則計算它的真值。因此，它的值與左邊第一欄相同。也就是說，我們只要把那些真值轉移到表的右邊即可（這一步可以省略，因為B的值就在左邊第一欄，可以直接使用）。然後在C的真值上面，即左邊第二欄上應用否定詞的規則計算～C的值。如真值表右邊第三欄所示，我們要在波浪線下填寫計算結果。現在可以檢查右上方的形式是否有效。為了確定這一點，我們橫向瀏覽BˇC，B以及～C的值（忽略列）。找出前提BˇC以及B都真，但結論～C為假的那一行。恰好就是第一行。這就表明公式所表示的論證形式無效，原因如下：

如果檢測某一論證形式的真值表至少有一行是前提真、結論假，那就證明這個形式無效。

專欄12-1　真值表與有效性有什麼聯繫

有效性與真值表之間的關係僅是：

（1）如果一個論證有可能是所有前提都真，但結論假──也就是說，真值表有一行或多行是如此情況──那麼它就是無效式。

（2）但如果上述情況不可能發生──也就是說，真值表沒有這麼一行──那麼它就是有效式。

（如果一個論證形式有可能是所有前提都真、但結論假，那麼從前提推不出結論。）

上述真值表的第一行（如箭頭所示）證明了需要檢測的形式的無效性（依據專欄12-1中指出的基本原理）。我們以這種方式證明例12-1是無效式。可以建構類似的真值表證明任何具有相同形式的不同論證的無效性。例如，

例12-3　要麼是媒體提高了大眾的自覺性，要麼是大眾的觀點導致了公共政策。

因為媒體提高了大眾的自覺性，所以，並非大眾的觀點導致了公共政策。

因為這個論證與上述例12-1具有相同形式，任何檢測有效性的正確真值表都將與例12-2相同（作為練習，自己應建構這樣一個真值表）。

現在使用一個真值表檢測另一個論證的有效性：

例12-4　1. 如果薩莉在總統選舉中投了票，那麼她就是公民。

2. 薩莉不是公民。

3. 薩莉沒在總統選舉中投票。

這個論證的形式是：

例12-4a　M∩C，～C∴～M

首先需要注意的是，這個論證形式包括兩個簡單命題，M和C，並且分別出現了兩次。因此，真值表的左邊只需要四個值（兩真，兩假），共有四行。其次，計算例12-4a前提和結論的真值。它們都是復合命題，真值情況將在聯結詞下面排列；第一個前提的真值排列在「∩」下面；第二個前提和結論的真值排列在「～」下面。這個論證並不包括簡單命題；因此，為了檢測有效性，我們僅需瀏覽聯結詞下面每一欄的每一行：前提欄是在「∩」和「～」下面，結論的是在「～」下面。最後我們要找出所有前提都真，但結論為假，即表示無效性的那一欄。但真值表中並沒有這一行。

例12-5

沒有這一行意味著例12-4和例12-4a都有效。這個測試可以證明有效性是因為真值表窮盡了所有可能的前提與結論的真值組合，而且沒有哪一行顯示前者為真、後者為假。因此，具有例12-4a這一形式的所有論證，從其前提可以推出結論。考察以下論證：

例12-6　如果蒂娜·黑爾教授在利物浦大學，那麼她就在英國工作。蒂娜·黑爾教授並不在英國工作，因此，蒂娜·黑爾教授不在利物浦大學。

例12-7　如果地球不是行星，那麼火星也不是。但火星是行星，因此，地球也是。

自行練習建構一個真值表來檢測它們的有效性。你會發現最終結果與上述例12-5完全相同。

再看一個較複雜的論證。

例12-8　因為法國不是聯合國成員，可以推出英國也不是。因為，如果法國不是，那麼荷蘭或者英國是。

可以把例12-8解釋為

例12-8a　1. 法國不是聯合國成員。

2. 如果法國不是，那麼荷蘭或者英國是。

3. 英國不是聯合國成員。

其形式是

例12-8b　～F，～F∩ （NˇB）∴～B

測試例12-8b的有效性，首先需要注意，其中出現了三個簡單命題，真值表將有八行。在真值表左邊寫下這些簡單命題真值的所有可能組合之後，計算前提和結論的真值，在右邊聯結詞下面輸入計算結果。下面是真值表，箭頭指向的行表明這個形式無效：

例12-9

例12-9右邊較複雜的公式表示的是論證的第二個前提：它包含三個聯結詞。如何確定哪個是最主要的？通過仔細閱讀和括號來確定：後者告訴我們～F和（NˇB）通過∩連接。但為了確定∩下面一欄的真值，首先需要知道其前件～F，和後件NˇB的真值情況。在真值表左邊的F上使用否定詞的真值規則就可以確定～F的真值，之後在～F──第一個前提下面輸入那些值（也可以不寫）。依據左邊N和B的真值，使用析取規則計算出NˇB的值。計算～B真值的方式與計算～F的類似。完成這些工作後，我們只需要瀏覽真值表右邊表示前提和結論真值的行。向自己發問：是否存在兩個前提都真，但結論為假的行？答案是肯定的！一共有兩行：第五行和第七行。這就證明例12-8b無效，而任何具有這一形式的論證，如例12-8就是無效的。

專欄12-2　如何使用真值表檢測有效性

（1）使用真值表去檢查一個論證的有效性時，首先在右上方寫上刻畫論證形式的那個公式。

（2）公式中出現的所有不同種類的命題都位於真值表的左上方。

（3）公式下面的行窮盡了所有前提與結論真值的可能組合。

（4）為了確定一個論證形式是否有效，必須瀏覽公式下面的所有行。

（5）如果有一行顯示前提真而結論假，這就證明該論證形式無效。

（6）如果沒有這一行，論證形式就是有效的。