顏竣字士遜，是顏延之的長子。很早就有文才，擔任宋武帝的撫軍主簿，很受器重，顏竣也盡心效力。元嘉年間(424～453)，皇上不想讓諸王各自建立朋黨，準備召顏竣補任尚書郎。江湛認為顏竣在府中已經有了職務，不宜更改，才停下了。隨著宋武帝軍府轉移為安北、鎮軍、北中郎府主簿。
起初，和尚釋僧含學問精深，他對顏竣說：「貧僧常常看見讖記，應當有真人和這相對應，名稱次第，正好與殿下相合。」後來顏竣在彭城，曾經和親人說起，這話於是傳開，被文帝聽到了。當時元兇劭巫蠱的事已經揭露，所以皇上沒有進行追究。
孝武帝鎮守尋陽，他調任南中郎記室。元嘉三十年春天，因為他父親顏延之辭官歸田，他堅持要求解除自己的職務，賜給他假期，還沒有出發，而文帝逝世的消息就到了，孝武帝起兵入京討伐，轉任他為咨議參軍，兼任錄事，總管內外各種事務，並且撰寫檄書。孝武帝從尋陽發兵，便生了病，自沈慶之以下的人都不能相見，只有顏竣可以出入臥室以內，決斷軍機大事。當時孝武帝屢次經歷危險，不能負擔咨詢聽取匯報，凡是各種事務，顏竣都專斷施行。
孝武帝登基，他歷任侍中、左衛將軍，封為建城縣侯。孝建元年(454)轉任吏部尚書，兼驍騎將軍，他很留心選拔人材，自強不息。他所受的信任待遇十分厚重，上奏事項無不許可。後來謝莊代替顏竣負責選拔官吏，他的意見許多不能實行。顏竣容貌嚴厲剛毅，謝莊風姿十分美好，賓客喧嚷談事，謝莊常常笑著回答。人們說顏竣怒而給人官，謝莊笑而不給人官。
南郡王劉義宣、臧質等人造反，讓顏竣兼任右將軍。劉義宣、臧質的幾個兒子藏在建康、秣陵、湖熟、江寧縣的邊界上，孝武帝大怒，免去了丹陽尹褚湛之的官職，逮捕了四個縣的官長，以顏竣為丹陽尹，加任散騎常侍。
在此以前，顏竣還沒有兒子，而大司馬江夏王劉義恭的幾個兒子被元兇劭所殺，到現在各自產了男孩，皇上親自為他們起名，給劉義恭的兒子取名為伯禽，用以比擬魯公伯禽，周公的兒子；給顏竣的兒子取名為辟強，用以比擬漢代的侍中辟強，是張良的兒子。
以前，元嘉年間鑄了四銖錢，輪廓形狀與五銖錢相同，因為費用高沒有餘利，所以百姓不盜鑄。等到孝武帝即位，又鑄了孝建年間的四銖錢，所鑄的錢形式薄小，輪廓不成形，於是社會上盜鑄的人摻雜上鉛錫，都很不牢固。又剪鑿古錢以取得它的銅，錢變得薄小，和官制的樣式稍有不同。雖然嚴刑懲治，吏人官長因此被罷免的不斷，但是盜鑄更凶，各種貨物價格飛漲，人們都非常憂慮愁苦。於是定立標準，薄小沒有輪廓的全部加以禁絕。始興公沈慶之議論說：「應該允許人們鑄錢。設置官署，樂於鑄錢的人家都住在官署內。去年春天所鑄的新錢，同時使用，現在鑄錢都依照這個標準。鑄一萬收稅三千，嚴格檢查盜鑄，同時禁止剪鑿。幾年之間，公私豐足，銅盡事息，奸詐行為自然停止。禁鑄則銅轉為器具，開鑄則器具轉為財富。」把這件事交給公卿們討論處理，顏竣議論說：「現在說開官署放開鑄錢，我確實很想贊同，只是怕採礦的事情斷絕，器具日益損耗。銅既然轉少，器具也就更貴。假如器具價值一千，則鑄造它就要減半，做事情沒有利潤，即使下命令也行不通。」當時議論的人又因為銅難得，想鑄二銖錢。顏竣又議論說：「現在鑄二銖錢，任意實行新而細小的形制，對於官府解決不了困乏，而人們的奸巧大興，天下的錢幣將會細碎至盡。空說是嚴禁，而利益很大難以禁絕，不過一二年之間，它的弊端將不可能再進行救正。這是它決不可以實行的理由之一。使奸詐人的心意得逞，而給他們提供罪惡謀劃的條件，這是它決不可以實行的理由之二。讓富商得志，使窮人困窘，這是它決不可以實行的理由之三。如果能夠受益深重尚且不可實行，況且又沒有利益，而具有這樣多的弊端呢，這樣豈不是失算於當時，而取笑於百代麼？」前廢帝即位，鑄造二銖錢，形式變小，每次官錢一出現，民間就模仿製造，而大小厚薄都趕不上。沒有輪廓，不加打磨，像今天的剪鑿錢一樣，稱為耒子錢。景和元年(465)，沈慶之上表開始了私人鑄錢，從此錢幣混亂，一千錢長度不足三寸，大小和這一樣的，叫作鵝眼錢；比這更差的叫作延環錢。用繩子穿起來，放到水裡也不下沉，隨手便可以弄碎，街市上無法計算它的數量，十萬錢還不滿一捧。一斗米一萬錢，商品很難銷行。明帝初年，只禁止鵝眼、延環，其餘的都還通用。又禁止民間鑄錢，官署也廢除，不久重又普遍禁絕，只用古錢。
顏竣從散騎常侍、丹陽尹升任中書令，上表辭讓中書令，被批准。當時天旱人饑，顏竣上書禁止飴糖一個月，節省米近萬斛。重又代替謝莊為吏部尚書，兼太子右衛率，還沒有上任，遇到了父親的喪事。喪事剛過了一個月，起任為右將軍，丹陽尹依舊不變。顏竣堅持推辭，上表十次而沒被批准。派遣中書舍人戴明寶抱著顏竣登車，載到了郡捨。賜給他布衣一件，用彩綸加以鋪絮，讓他立即把所賜的衣服穿在身上。
顏竣藉著曾經做過孝武帝藩朝舊臣的身份，常常極力陳述朝廷得失。皇上自從除去喪服之後，宮內很有些醜聞，又有很多的土木興造。顏竣懇切地進行諫諍，完全沒有什麼迴避。皇上心中十分不高興，大多不被聽從。顏竣自認為才能足以濟世治事，舊時的恩寵沒人可比，理當居於中心輔佐皇帝，永遠執掌朝政。而所提出的建議大多不被採納，他懷疑皇上是想疏遠他，於是便請求外任，以觀察時事動態。大明元年(457)，任命他為東揚州刺史。他的請求已經被允許，他於是又憂慮恐懼，沒了辦法。到了州上，又遇到了母親的喪事，卻不允許他離職，只是允許他送喪回京，恩待仍很優厚，顏竣自己更加感到不安。每當面對親友故人，頗懷怨憤。又談論朝廷謬誤，皇帝得失。
等王僧達被處死，認為是被他所誣陷，臨死的時候敘述了顏竣前後如何不滿，如何怨恨自己的建議不被聽從。王僧達所說的，頗相符合，皇上便指使御史中丞庾徽之上奏顏竣：「窺視國家權柄，圖謀長久執掌。接受任命主管選曹，驅使煽動更加嚴重，出任地方官長，形勢越發放縱。傳詔觸犯法令，舊事應該啟奏，而顏竣因為通訴的人違反了自己的心意，便加以鞭打侮辱，不顧皇上的權威，沒有比這更嚴重的。心懷奸術，包藏邪惡。他參與朝廷的核心機密，無不洩露。懲罰則推給皇上，好事必歸於自己，威脅上司，煽動群眾。後來擔心被皇上聽說，心裡懷著猜測和恐懼，假意請求去做東部的郡守，用以試探天子的旨意。獲得出鎮藩國以後，怨罵更加放肆，常說的反唇腹誹，形容他已嫌太輕。前年冬天他的母親去世，詔賜回來埋葬，事情辦完仍不離開，盤桓了很久。又離間大臣，製造矛盾，終於弄得自己被斥逐在外，國道將被破壞。同時他又在家中表現惡劣，早已遭到世人的非議，家人怨恨，親友震驚。現在已經是街談巷議，不再是一般風聞，因此應該明正刑典，處決示眾，以弘揚皇上隆盛的教化。請求根據上述事實，免除顏竣所居的官職，下交給太常削去他的爵位和封地。」皇上不想就此把他殺死，姑且只是免去了他的官職。顏竣頻頻上書謝罪，並且乞求饒恕性命。皇上越發憤怒，下詔回答說：「御史所奏的情況，不是過去我對你的期望。卿受了榮耀的待遇，正應當極盡努力。誹謗怨憤，已經辜負了本來的希望，竟然又去過煩思慮，生怕不能安全立身，這難道是臣下侍奉主上至高的忠誠嗎？」
後來竟陵王劉誕叛逆，於是便借此陷害他，說他和劉誕勾結。召御史中丞庾徽之到殿前站立啟奏，啟奏完成，詔令先打折了他的腳，然後在獄中賜死，妻子兒媳赦免遷到遠方。兒子顏辟強流放到交州，又在宮亭湖裡把他沉入淹死。顏竣的文集流行於後世。