20世紀50年代末期，台灣政壇關切焦點因此集中在1960年蔣介石是否交班議題上。因為根據「憲法」規定，1950年復行視事的蔣介石經一次連任，已然做到法定最後一任「總統」任期，即他的任期最晚只能做到1960年5月20日為止，除非「修憲」或硬幹，蔣介石都沒有繼續任期的可能。陳誠既然身兼「副總統」「副總裁」，深受蔣介石信賴，蔣經國又歷練不足，只要蔣介石決定交棒，當然陳誠就大有可為。
◆ 1952 年，胡適（前排左一）由美國來到台灣，與老友重聚合影。圖中為（前排中、右）陳誠、王世傑。（第二排右起）張歷生、葉公超、吳國楨、陶希聖。（後排右起）張南如、黃少谷、張其昀、沈昌煥。胡適，祖籍安徽，1891 年生於上海東門外，入上海中國公學，後赴美入康奈爾大學，先習農，後轉哥倫比亞大學，師從實證主義大師杜威，獲哲學博士。1917 年回國後任北京大學教授，講授實證哲學，次年任《新青年》編輯，鼓吹文學革命，提倡白話文，其名言有「多研究些問題，少談些主義」「大膽假設、小心求證」，成為「五四運動」主要人物，對中國思想界有深遠的影響。1949 年，胡適赴美，1952 年首次應邀去台灣演講，照片的人士堪為去台文化界的一時之選。
不過陳誠雖然再度受蔣介石指派，以「副總統」身份兼任「行政院長」，卻意外地一接任就與蔣介石意見相左，原本蔣介石希望張其昀留任「教育部長」，甚至親自帶著張其昀拜訪陳誠，但陳誠不肯買賬，堅持用清譽較佳的「清大」校長梅貽琦，最後終於「梅上張下」，陳誠堅持人事案的結果獲得輿論與學者肯定，但也使蔣陳兩人出現一定矛盾。
◆ 1958 年，「中央研究院」在台灣重建，由胡適任院長，繼續在台灣散播思想與文化的種子。中央研究院最早於1928 年成立，作為中國最高的學術研究機構，但因內外局勢動盪，戰禍連年，以致當時的研究院是由全國各學術團體選出的評議員的組合，並非一實體的研究單位。直到1948 年3 月，原來中研院評議會投票，選出81 名院士，才在南京正式成立了中央研究院。胡適是人文組院士，首屆代院長為當時的教育部長朱家驊。
據陳誠兒子陳履安轉述，當時胡適相當看重陳誠接任「總統」，甚至允諾陳誠，如果他當上「總統」，願意從美國搬回台灣。但這些話說多了，蔣介石聽了就很不痛快。此外，以胡適為靠山的「自由中國」，早在1956年就打著慶祝蔣介石70歲大壽的名號，點名質疑蔣介石三連任爭議，讓各方矚目，「兩蔣」極為不悅。至於胡適在這期「自由中國」中，則說了美國總統艾森豪威爾的兩個小故事，諷諭蔣介石不該管太細，應該放權，無為而治，信任自己的手下，似乎也略有幫陳誠遊說之意，也使問題更加複雜。尤其當時「中央日報」為了幫蔣介石祝壽，還四處約稿，結果胡適把這篇文章也給了「中央日報」，讓編輯萬分頭痛，只能循渠道請示蔣介石，結果蔣介石裁示照登，「讓他去講好了」，文章才順利過關。
◆蔣介石與胡適之關係，曲曲折折，從直言力諫到惺惺相惜，伴隨著民國命運起伏波折的大潮。1935 年，蔣介石組建「人才內閣」，胡適榜上有名，身份轉而成為蔣介石內閣的建言者。抗戰的爆發，亦體現了胡適親英美外交之腕力，於舊金山，胡適發表題為《中國能戰勝嗎?》之演講，以「算盤要打最不如意的算盤，努力要作最大的努力」之破釜沉舟之壯懷，勉勵僑胞。
為了勸阻蔣介石，晚年很少從事政治性發言的胡適，雖然接受蔣介石邀請，返台接任「中央研究院院長」職務，但他卻破例與王世傑等人公開建議，希望蔣介石遵守「憲法」規定，宣佈不再連任，樹立和平交接權力典範；樂天派的胡適甚至還找上陳誠，盼他勸說蔣介石依「憲法」行事，更讓接班關頭的陳誠非常尷尬，只能應付了事。
在爭議中，「自由中國」選擇在論戰裡持續扮演反對要角，點名國民黨擁護蔣介石「三連任」，或主張「修憲」以便蔣介石連任的做法違「憲」，是不當的，與國民黨陣營勢成水火，黨內外言論激烈交鋒，引發相當大的風波。沒想到蔣介石於1958年12月23日在「光復大陸設計委員會」會議中公開表示，「反對修改『憲法』」，因此被外界解讀為，蔣介石是真的有意卸下正式職務，到時「國民黨政府」勢必要推選新領導人。是以陳誠在1959年1月間前往八卦山、大貝湖等地高調避壽的做法，頗讓外界以為這是陳誠在後蔣介石時代的培養名望的手段之一。
只是譽之所致，謗亦隨之，陳誠出遊後立刻有人放話，指陳誠倣傚漢惠帝集「商山四皓」之力以定大位的做法，明顯有野心取代蔣介石。更有人質疑陳誠是否與「自由派」私下串聯。特別是雷震除了經營「自由中國」，與國民黨「文宣系」勢成水火，更不顧胡適勸阻，從20世紀50年代末開始計劃另立政黨，沒想到陳誠一度公開表示，「只要不是流氓，軍閥組的反對黨都可以存在」，被解讀為默許組黨，更讓外界矚目。
相傳陳誠更犯了蔣介石大忌，與一些現任將領私下討論蔣介石之後接班問題，據說連現場錄音都遭情治單位掌控後直呈蔣介石，蔣介石勃然大怒，立刻拔除多名與陳誠關係密切的現任將領，包括「參謀總長」王叔銘在內，徹底清除陳誠接班的可能。
加上謎題終於揭曉，蔣介石無意以「修憲」解決連任問題。只是他也不反對國民黨人士以增設臨時條款方式，凍結原有「憲法」規定，迴避「修憲」的大動作而讓他三連任，問題只是如何化解法令與輿論疑慮；陳誠終與大位擦身而過。
◆蔣介石所謂的「總統」連任後，與「副總統」陳誠合影。無論在史書上，還是在人們的印象中，陳誠始終被人們視為蔣介石的股肱和心腹。但從出版的《與蔣中正先生往來函電》和陳誠的《家書》以及美國斯坦福大學胡佛研究所檔案館藏的《蔣介石日記》等史料來看，陳蔣關係並不是人們想像的那般親密，而是有時也衝突得厲害。
陳誠在蔣介石生前接班的想法雖成泡影，但胡適等人的反對卻沒有停止，雷震與「自由中國」的批判更是露骨，以曹丕與袁世凱被勸進比擬此時的處境。
很少介入政治的胡適，也罕見地於1959年11月15日藉著到張群家會面的機會，希望蔣介石公開宣佈放棄三連任；胡適要求，希望蔣介石樹立和平交接權力的範例，甚至公開他所屬意的繼任人選，但絕不能以勸進電報的方式，侮辱老百姓，侮辱蔣介石。
面對胡適的不悅，張群當場雖答應傳話，也解釋說蔣介石的意願來自「革命事業沒有完成……對全國軍隊有責任」。胡適為求慎重，之後又面見了黃少谷，以確保他的反對意見能被帶到。過了一個星期，胡適去看王雲五，再提他托張群傳話一事。王雲五則說，話雖然已經婉轉帶到，但蔣介石只說，「他該說的都已經說了」。胡適事後在日記中記載，蔣介石此舉應該又是1949年與1954年「他對黨說話，黨的中委一致反對，一致勸進，於是他的責任已盡了」。
通過臨時條款，蔣介石連任不再受屆期限制，等於可無限期連任，雷震等人也接到關於政治暗殺的威脅。此時陳誠反倒尷尬地從國民黨手中接下與胡適等人疏通的工作，實在情何以堪！約在2月中旬，陳誠拜託胡適承認現實，胡適還反問陳誠何謂現實？陳誠也只能強調，台灣內外形勢不好，一步不能亂，這就是現實，希望胡適還是能好好合作，不要讓外人看笑話，結果雙方幾乎不歡而散。胡適對外還是講，「我僅有一句話，就是堅決反對總統連任」。
1960年3月，「國民大會」選舉，增列臨時條款提案輕易通過，當場只有王世傑表達反對。至於陳誠僅能繼續屈就「副總統」，由於蔣介石的大動作，等於預告未來將傳子不傳賢，也因此引爆陳誠與蔣經國間的矛盾心結，持續多年而無法化解。〔例如蔣經國親信衣復恩因執掌對美情報合作業務，特別是U2「黑貓」中隊對大陸航拍工作而紅透半片天，卻意外在20世紀60年代遭蔣經國下令關押，據衣復恩回憶，其中一個原因可能正是與U2高空偵察機有關。因時任「副總統」的陳誠曾要求要看U2機空拍照片，陳誠既是「副總統」又是老長官，衣復恩只能照辦，並親自把照片送到陳誠家中，沒想到蔣經國在陳誠家中恰巧看到而大怒認為衣復恩違反U2機密資料僅能通過蔣介石與蔣經國單線指揮的保密規定，於是下令查辦。〕兩人不和，台灣政壇人盡皆知，連張學良也說，當時蔣經國被陳誠「壓得灰心」，想自逐到美國去，「正好此時，陳誠病重死了，大局有了轉機，真是上帝的安排」。
事實上，雖然陳誠晚年不斷向人抱怨，「中國官場就是忌才」，但在陳誠有生之年，蔣經國在內閣的位置也的確始終遭到壓抑，直到陳誠因胃癌靜養並辭去各兼職，蔣經國才一飛沖天，從「國防部副部長」「國防部長」，走上蔣介石為他鋪好的強人之路。