與證實有關的最著名的現代悖論是由德裔美國哲學家卡爾·G·亨佩爾（Carl G. Hempel）1946年提出的「烏鴉悖論」。這一悖論指向歸納法，即體現的是一個進行概括的過程。對於那些相信科學可以分解為按部就班的科學方法的人來說，烏鴉悖論是一個壞消息。
亨佩爾設想有一位鳥類觀察者試圖檢驗一個假說：「所有烏鴉都是黑色的」。[1]檢驗這個假說的傳統方法是搜尋烏鴉並檢查其顏色。每發現一隻黑烏鴉都是對假說的證實[2]（提供證據）。相反，只要發現一隻其他顏色的烏鴉就立刻駁倒假說。只要找到一隻紅烏鴉，你就不用再費事了：假說已經被推翻了。
對以上說法我們全無異議。亨佩爾悖論這樣開始，原來的假說可以換一種表述方式，「所有非黑的東西都並非烏鴉」。根據邏輯原則，這兩種表述方式是完全等價的。如果所有的烏鴉都是黑色的，那麼任何顏色非黑的東西當然不可能是烏鴉。這兩個語句之間的變換被稱為「換質位法」，即一個命題經過換質位得到的新命題與原命題在意義上等價。
與原命題相比，「所有非黑的東西都是非烏鴉」要容易驗證得多。每當你見到一件顏色不是黑色的東西，而且證實此物不是烏鴉，這個命題就得到了一次證實。我們不必在人跡罕至的潮濕荒原上守候烏鴉，只要找一些非黑並且不是烏鴉的東西就行了。
如果我們見到一隻藍松鴉，它不是黑色的，也不是烏鴉，這就證實了原假說換質位之後的等價性；同樣，一隻紅鶴、一隻紫燕、一隻綠孔雀都可以作為證據。當然，我們甚至不必要求作為證據的非黑的東西必須是鳥，一條紅鯡魚、一枚金戒指、一條藍草蟲，甚至本書的這一頁白紙，都能提供證實。這位鳥類觀察者沒有必要告別他的安樂椅，出去搜集證據證明所有的烏鴉都是黑色的，此刻你的視野中已充滿了證明這個假說的證據。
顯然這是荒唐的，但是更荒唐的還在後面。為了深入討論，假設我們用如下策略消解亨佩爾悖論：藍松鴉、紅鯡魚等確實證實了原假說，雖然只是在一個無窮小的程度上提供了證實。如果你能招來一個具有魔力的精靈，這個精靈可以在一眨眼之間檢驗世界上所有非黑色的東西，並且發現這些非黑色的東西中沒有一樣是烏鴉，這無疑證明了不存在非黑色的烏鴉，即所有的烏鴉都是黑色的。這樣看來，也許用一條紅鯡魚證實所有的烏鴉都是黑色的並不荒唐。
先別急著為如上回答得意。很明顯，同樣是這條紅鯡魚，它也能證實「所有的烏鴉都是白色的」。這個命題換質位之後得到「所有非白色的東西是非烏鴉」，這條紅鯡魚是非白色的東西，證實了換質位之後的命題。一個觀察結論不可能同時證實兩個相互排斥的假說。[3]一旦你接受了這個顯而易見的矛盾，那麼就沒有什麼是不可「證明」的了。例如，這條紅鯡魚證實所有烏鴉的顏色都是黑色的，同時也證實所有烏鴉的顏色都是白色，因此，黑就是白。從合理的前提出發推出了一個明顯的矛盾。
對於科學家來說，亨佩爾悖論不僅是一個謎題。任何假說都有一個換質位的形式，而證實這個換質位形式的例證通常極容易發現。這裡顯然出了錯誤，可是錯誤在哪兒呢？
亨佩爾的烏鴉精妙地展示了證實問題中的危險和困惑。在我們將要討論的所有主要悖論中，這個悖論是最接近得到解決的悖論之一。在研究如何解決之前，有必要做一點引申，討論一下這個悖論的背景。
證實
最簡略地說，證實是對真理的探求。證實不僅是科學的核心動力，而且它就貫穿於我們的日常生活中。
分析證實就像分析噴嚏一樣：我們知道它是怎麼回事，但通常它都是自動完成的，我們無法確切地說出它是如何運作的。與證實有關的悖論有一個共同屬性：包含下意識的預期。這些悖論的成因很可能與此大有關聯。這些預期可以把我們引入歧途。
我們在高中時就學過一種「科學方法」，大致如下：我們首先提出一個假說，即關於世界如何運作的猜想，然後試圖通過觀察或實驗進行檢驗。我們收集到的證據或者能證實假說，或者能反駁假說。在不涉及某些重要條件的前提下，以上方法是正確的——我們在高中學到的知識大多具有這種特點。
最有用的假說是概括陳述。亨佩爾悖論對一條常識性的原則——所謂的「尼柯德標準」——有些嘲弄意味，這條原則以哲學家讓·尼柯德（Jean Nicod）之名命名。用黑烏鴉的例子表述尼柯德標準：（a）發現一隻黑烏鴉使得概括陳述「所有烏鴉都是黑色的」為真的概率上升；（b）發現一隻非黑烏鴉推翻概括陳述；（c）觀察到烏鴉以外的東西，與概括陳述無關。一個黑色的保齡球或一條藍色的草蟲對於烏鴉的顏色不提供任何信息。尼柯德標準蘊含在全部科學探索中，如果這條準則出了問題，我們就遭遇了真實而嚴重的麻煩。
只要發現一隻黑烏鴉，就提供了一條對「所有烏鴉都是黑色的」這一假說有利的證據，然而，這當然不足以證明這個假說就是真的，任何一個單獨的觀察結果都不能做到這一點。多次發現黑烏鴉，並且從未發現其他顏色的烏鴉，便會（非常合理地）增加我們對於「所有烏鴉都是黑色的」這個假說的信心。
證實問題比表面看來複雜。你也許認為，證實一個假說的證據越多，它為真的概率就越大，其實未必。有可能出現這種情況：兩個支持性的觀察結果合在一起卻證明假說為假。下面這個思想實驗就是如此，這是在哲學家韋斯利·薩蒙（Wesley Salmon）的啟發下設計的。
物質與反物質
假定宇宙中的某些行星由物質構成，另一些由反物質構成（我們一直如此推測）。物質和反物質看起來一模一樣。用望遠鏡觀測遙遠的星球時，我們無法辨別它是由物質構成的還是由反物質構成的。甚至這顆行星發出的光也無法透露出任何線索，因為光子的反粒子就是光子本身，一顆反物質的星球和一顆正常的星球在發光方面沒有任何差別。唯一不同的是，當物質與反物質接觸時——「轟」！二者將同時在巨大的爆炸中湮滅。
這種不幸的事實使得星際接觸充滿危險。從行星X出發的飛船的命運依賴於從行星Y出發的飛船。兩艘飛船通過無線電聯絡（無線電波由光子構成，既非物質也非反物質），飛船上的計算機解譯了對方的語言，雙方建立了外交關係。兩艘飛船決定對接並互派親善大使，一切都很順利，直到最後一刻。兩艘飛船對接的結果取決於行星X和Y的構成——可能是「轟」的一聲爆炸，也可能不是。如果其中一顆行星是物質的而另一顆是反物質的，則兩艘飛船都將灰飛煙滅（如果二者都由反物質構成，爆炸就不會發生）。
某一天，地球上的天文學家報告說他們觀測到兩個微弱的光點相互接近，可能是兩艘飛船。他們不能肯定觀察到的對象一定是飛船，但是根據以往經驗，他們確信每個光點有30%的概率是飛船，有70%的概率是不相關的自然現象。另外根據以往的經驗，相互接近的一對飛船總會進行對接——看來宇宙中的外星人對「物質—反物質」問題相當健忘，他們必須在痛苦的教訓中學習。
我們的問題是：這二者會不會爆炸？拉斯韋加斯的博彩公司開始就此問題設置賭局，接受殘酷的投注。博彩公司的推理是這樣的：已知宇宙中2/3的行星由物質構成，1/3的行星由反物質構成。每個光點有70%的概率是自然現象，與我們的討論無關；有20%的概率是由物質構成的飛船；有10%的概率是由反物質構成的飛船。
我們分別用A和B表示兩個光點。如果A是物質飛船而B是反物質飛船，或者A是反物質飛船而B是物質飛船，在這兩種情況下都會發生湮滅（兩種情況相互排斥）。第一種情況發生的概率是20%乘以10%，即2%；第二種情況發生的概率是10%乘以20%，也是2%。由於兩種情況相互排斥，所以湮滅發生的總概率為2%加上2%，即4%。
博彩公司根據這種方法計算出的概率設置對下注者的賠率。現在假定有一個太空探險家回到地球，他的飛船在太空中曾經和對像A發生摩擦，這種事故發生的概率只有一萬億分之一。此人知道對像A是一艘飛船，而且肯定是由正常物質構成的（因為他們接觸時沒發生爆炸）。這個探險家回到地球後，算出了A和B將發生湮滅的概率，並據此在拉斯韋加斯下注。
他在下注時會充分利用自己的「內部消息」。他知道對像A是一艘飛船這一事實，而所有其他人則以為A可能（概率為70%）是一顆小行星或其他自然物。已知A是一艘正常物質飛船，而B是一艘反物質飛船的概率是10%，所以發生湮滅的概率為10%。賭博公司認為概率為4%，而探險家利用更加完備的信息得出的概率為10%。
接下來，假定另一個太空探險家曾經和對像B出過一場事故，從而驗證了B是一艘物質飛船，情況又如何呢？第二個探險家當然可以做出與第一個探險家完全相同的推理，並得出結論：發生湮滅的概率將從4%飆升到10%。但是，把兩個探險家的信息合併考慮，結論是湮滅根本不可能發生。已知信息已經表明，兩艘飛船都是由與地球相同的物質構成的，這意味著發生湮滅的概率是一個大大的0！
絕對證實和遞增證實
讓我們分別來看兩個證據（兩個探險家曾與飛船接觸），它們都對將發生湮滅的假說提供證實，但是把兩個證據放在一起卻推翻了假說。在我看來，這是一個反常，而非悖論，因為這種奇怪的轉向無疑是可以存在的。各方——包括博彩公司、探險家以及瞭解兩個探險家經歷的我們——所做的概率計算都是合理的，證實理論家已針對此類奇異的現象進行了細緻的研究。
奇異性部分來自語義。「證實」這個詞有兩種含義。在日常語言中，我們通常在「絕對」的意義上使用「證實」這個詞，表示某事已經最後確定，再無合理質疑的餘地。「老闆證實桑德拉獲得加薪」，這句話意味著，無論在此之前我們有多少疑問，現在我們百分之百地肯定桑德拉獲得了加薪。
但實驗極少為假說提供「絕對」證實。科學家和證實理論家經常在「遞增」的意義上使用「證實」這個詞，這種意義上的證實意味著「為某事提供證據」或「增加某事的概率」。我們提到概率，這是因為對概括陳述的證實總是不確定的。
我們可以對不大可能為真的假說提供遞增證實，在證實之後，假說依然不大可能為真。對於「老闆證實桑德拉獲得加薪」這樣的語句，我們不會解釋成「老闆的話使得桑德拉獲得加薪的概率從15%增加到18%」，但是在科學研究中，這類證實卻是典型的。
在遞增證實中，與飛船湮滅問題類似的反常情況很普遍。每個探險家的信息使得湮滅發生的低概率（4%）上升，但上升後依然是低概率（10%）。把兩個信息合起來，則把概率降為0。令人感到欣慰的是，當概率值更高，且對假說的證實更接近於絕對意義上的證實時，這種反常不會出現。
為了展示這個結論，我們對概率值做一點兒調整，重新規定整個場景，令博彩公司對實際情況的瞭解更加充分。每個對象有10%的概率為自然現象，有80%的概率是物質飛船，另有10%的概率是反物質飛船。於是，博彩公司對發生湮滅的計算是「80%乘以10%」加上「10%乘以80%」，即概率為16%。每個探險家已確知一個對像為物質飛船，利用這條信息算出的湮滅發生的概率為10%（和原來的例子一樣），這個值等於另一個對象是反物質飛船時算出的概率。現在，每個探險家的估值都低於博彩公司的估值。事情就應該是這樣，因為兩個探險家對實際情況的瞭解多於博彩公司，而實際情況是，湮滅發生的概率為0。
反例
從前文中可以看出，證實只是兩種可能性中的一種。證據不僅可以證實假說，也可以反駁（或否證）假說。著名科學哲學家卡爾·波普爾爵士（Sir Karl Popper）特別強調反駁的重要性。
也許你會認為，證實和反駁不過是同一個問題的兩種表述方式，就好像面對半杯水，你可以說杯子裡裝了半杯水，也可以說杯子裡有一半沒裝水。其實不然。在證實和反駁之間有一種不對稱性：反駁一個概括陳述要比證明它容易得多。
所謂「反例」，是指針對某個假定的規則的例外。例如，對「所有烏鴉都是黑色的」這一猜想，一隻白烏鴉就構成一個反例。一隻白烏鴉不僅會降低猜想為真的可能性——它還將徹底推翻這個猜想。邏輯學家稱之為「否定後件式」（「modus tollens」或「Denying the consequent」）。
「反例」在實際應用中的情況極少如此簡單。例如，對於「不存在尼斯湖怪獸」這一假說，已經湧現出許多「反例」——許多人聲稱目睹了尼斯湖怪獸。然而，大多數科學家依然相信尼斯湖怪獸並不存在。顯然，並非每一個所謂的反例都足以推翻一個在其他方面已經獲得證實的假說。
許多假說處於人們當前既有知識的邊緣，只有在許多附加的輔助性假說得到檢驗的前提下，原假說才能得到檢驗。輔助性假說是一些背景性的假設，在這些背景假設的基礎之上，我們才能討論原假說與現有的知識體系如何匹配的問題；還包括顯微鏡、望遠鏡以及其他的檢驗所必需的設備如何工作的假設，等等。這些輔助性假說的存在經常使得「否定後件式」不能即刻生效。
韋斯利·薩蒙引用了一個精妙的案例，在此例中，兩個類似的範例分別導致輔助性假說和原假說被推翻。牛頓的引力理論預言了行星的未來運動。在19世紀，大家發現牛頓理論關於天王星軌道的預言始終存在微小的偏差。
有些天文學家懷疑，在天王星軌道之外有一顆未知的行星導致了這種偏差。1846年，這顆未知行星（即海王星）被發現，牛頓理論不僅擺脫了質疑，而且還得到了加強。海王星為牛頓理論提供了進一步的證據。
大致與此同時，水星軌道上的某些不規則現象也引起了人們的關注。天文學家們同樣試圖在水星附近找到一顆行星來解釋這種不規則。法國業餘天文學家萊斯卡波特（D. Lescarbault）於1859年報告，他在水星軌道內發現了一顆行星。勒維耶（Urbain Jean Leverrier，海王星的共同發現者之一）[4]相信這顆行星確實存在，並將之命名為「伍爾坎」（Vulcan）。然而，後繼的觀測者無法觀測到這顆行星，他們很快認定這是一個假髮現。水星依然游離於計算軌道之外，其偏差不是隨機的，而是有規則的，明顯不符合 （建立於牛頓的萬有引力之上的）開普勒定律的預測。
在此例中，偏差最終被認定為反駁牛頓引力理論的證據。水星軌道的移動是證實愛因斯坦廣義相對論的最早證據之一。
海王星和伍爾坎的歷史展示了反例的兩個特徵。其一，一個反例有可能駁倒一條輔助性假說而不威脅原假說。鑒別出輔助性假說和原假說這二者之中哪一個有誤是重要的。通常有很多理由令我們相信，立刻構成反駁是罕見的。其二，當一種理論被拋棄時，如果一種新理論既能像原理論一樣做出許多成功的預言，又能包含更廣泛的內容，則這個新理論就居於有利地位。在太陽系的典型環境下，愛因斯坦廣義相對論對引力效應的預言與依照牛頓理論的推測完全相同，只是牛頓理論更加簡單。只有在引力場非常強的情況下，兩種理論才會出現分歧。在諸行星中，水星距太陽最近，引力效應最為明顯。看來只有水星不服從牛頓法則的約束。
新奇的理論
新理論不僅應當能解釋它將要取代的舊理論做出的預言，而且應當提供它自己的獨特的新預言。用卡爾·波普爾的話說，新理論必須包括更多的「經驗內容」。與舊理論相比，新理論必須在更多的經驗領域做出更具有可檢驗性的預言。
新理論應當更多地——而非更少地——向潛在的反駁開放。對於一種新奇的理論來說，其最致命的缺點在於它會被修訂成無法被反駁的形式。一個真正的假說是有可能被推翻的。例如這個假說：在滿月之夜臨近午夜時，有一隻鬼出沒於老米勒大廈。如果有一些合理的證據證實這種說法（例如幾位可靠人士提供的目擊證詞），那麼這個假說是值得考慮的。但這個假說可以改造成不可反駁的形式：一隻鬼在那裡出沒，但是，如果附近有不信鬼的人，鬼就不會出來。這種類型的鬼故事更常見。
不可反駁通常意味著根本不具備接受證實的基本條件。這類理論還能夠找到市場，是因為有些人不在乎它的真假，就是願意相信。沒有人會相信以下這些說法：
·靈媒在回憶前生時，他們的回憶極其飄忽，你不能要求他們記起可核對的歷史記錄（例如，你不能問他們當時法老的妻子是誰）。
·Ufo（不明飛行物）專門綁架那些不被「權威機構」信任的人，所以外星人的存在始終不可判斷真偽。
·大腳獸的殘骸以異乎尋常的速度分解，所以我們從未發現過大腳獸的骨骼（或者，大腳獸像人類一樣精心掩埋了死去的同伴）。
·（占星術的）星像是推動力量，而非強制力量。
以上這些附加條款是在證實失敗以後拼湊出來的。通過這樣被處理的假說，我們不能立刻得出結論判定它們為假，但是這類假說極少有說服力。如果這種為逃避反駁而進行的事後修訂工作達到一定程度，其結果就是波普爾以諷刺的口吻所稱的「不可證偽」的假說。「不可證偽」聽起來不錯，但是仔細思量則不然。一個假說不可能被證明為假，這意味著此假說的內容特別空洞，以至於任何觀察都不可能與此假說發生不一致。這種假說實際上等於什麼也沒說。
比如這個命題：「ESP（Extra Sensory Perception，超感官知覺）確實存在，但是極不穩定，以至於在實驗條件下最好的通靈師也不能確保自己必定成功。」某些捍衛超感官知覺的人實際上就是這麼為自己辯護的，這種說法是不可反駁的。我們會問：「假使超感官知覺不存在，這個世界又將會有什麼不同？」
為什麼科學家不本著「疑罪從無」的原則看待「超感官知覺存在」這個假說呢？雖然這個假說得到的證實少得可憐，但是我們並沒有什麼理由反駁它。主要原因在於，針對任何一組給定的數據，我們可以提出許多種假設。如果我們說，「好吧，超感官知覺存在，因為沒有實驗結論能夠排除其存在的可能性」（事實確實如此），那麼我們就不得不接受其他許多同樣不可反駁的假說。歸根結底，科學家出於簡單性的考慮只接受那些可以得到證實的假說。實際上，波普爾說過，科學的目的應當是利用新數據盡可能多地消滅假說。
換質位命題
以上我們對證實的基本理論做了充分的討論，下面以此為基礎重新審視亨佩爾悖論。大多數人初聞這個悖論時，首先感興趣的是有關換質位命題的問題。「非黑的東西」和「非烏鴉」看起來很彆扭。「所有非黑的東西都是非烏鴉」與「所有烏鴉都是黑色的」這兩個命題確實等價嗎？如果不相同，悖論就消失了。
有一個好辦法證明它們在邏輯上確實相同。暫且忽略人類在認知方面的種種欠缺，假定我們有一個精靈僕人，這個精靈有能力在一瞬間查明任何（全部）具體事實。換句話說，精靈可以確定任何由觀察直接獲得的，未經解釋、推論或編撰的感覺結果（也就是休謨所謂的「實際的事情」）。
這個精靈和休謨一樣聲稱，他不大理解概括命題。於是，如果你想知道「所有烏鴉都是黑色的」之類的命題的真假，你只能把概括命題解釋為一系列個別觀察的彙集，這樣精靈才能理解。你必須明確地告訴精靈，為了判斷亨佩爾的假說正確與否，它需要做什麼。
也許你會感到奇怪，對於「所有烏鴉都是黑色的」這一命題的真假的最終判定，實質上與對黑烏鴉的觀察無關。這與前文的討論明顯矛盾，不過請注意，我們現在說的是精靈，而非人類。精靈要做的是確定一個命題終極的、普遍的真理性，而非僅僅尋找一個支持性的證據。對黑烏鴉的觀察既無法證明，也無法推翻這個命題。
假如精靈發現了一隻黑烏鴉，就可以證明所有烏鴉都是黑色的嗎？當然不能。假如精靈發現了100萬隻黑烏鴉，這回足以證明了嗎？還是不能。其他顏色的烏鴉依然有可能存在。「所有天鵝都是白色的」這一命題始終得到一切可能的證據的證實，直到在澳大利亞的發現將其推翻——澳大利亞有黑天鵝。
假定宇宙是無限的，存在著無窮多個與地球類似的行星，這些行星上都有黑烏鴉。因而，精靈找到了無窮多只黑烏鴉。這下可以證明「所有烏鴉都是黑色的」嗎？還是不能，原因同上——其他顏色的烏鴉依然有可能存在。在這個節點上精靈會失去耐心（他確實有道理失去耐心），因為很明顯，無論發現的黑烏鴉的數量是多少，都不足以說明任何問題。通過尋找黑烏鴉來解決問題是白費力氣。
經以上分析我們意識到，問題的關鍵在於非黑色的烏鴉。亨佩爾的命題僅在一種情況下為假——在某處存在一隻非黑色的烏鴉；僅在一種情況下為真——非黑色的烏鴉不存在。為了最終確定真假，精靈必須搜尋非黑色的烏鴉。如果它發現了非黑色的烏鴉，哪怕只發現了一隻，就說明原命題毫無疑問為假；如果它找遍整個宇宙，搜索過一切非黑色的烏鴉可能出現的地點，但沒有發現非黑色的烏鴉，則說明原命題無懈可擊地為真。
從實用主義的角度看，「所有烏鴉都是黑色的」似乎僅討論了黑烏鴉；但是把它翻譯成精靈可理解的操作性定義，它的實際含義是「不存在非黑色的烏鴉」。
下面我們命令精靈檢驗換質位命題：「所有非黑的東西都是非烏鴉。」從精靈的角度看，這又是一個虛無縹緲的、不可理解的概括陳述。我們這樣對精靈解釋：「『所有非黑的東西都是非烏鴉』這一命題僅在一種情況下為假——至少存在一隻非黑色的烏鴉；僅在一種情況下為真——在任何地方都找不到非黑色的烏鴉。」
其實這也就是我們對原命題的解說。證明（或反駁）「所有烏鴉都是黑色的」所需的操作，完全等同於證明（或反駁）「所有非黑色的東西都是非烏鴉」所需的操作，於是我們有確切的理由斷言：這兩個命題是等價的。
也許你會質疑，二者還是有一個細微的差別——從「所有烏鴉都是黑色的」為真可以推出至少存在一隻黑烏鴉，不是嗎？
再比如要論證「所有半人馬都是綠色的」這一假說。精靈搜索非綠色的半人馬，沒有找到，於是報告說此命題為真。當然，任何類型的半人馬都是不存在的，因而，判定此命題為真會顯得有些滑稽。
要點還是在於語義。對於邏輯學家來說，「所有半人馬是綠色的」和「如果是一頭半人馬，則是綠色的」之類的命題是可以接受的。出於各種考慮，接受該命題為真是最便利的。因而，對於邏輯學家而言，一個命題和它的換質位命題並無差別。
你當然可以持相反意見，堅持認為若「所有半人馬都是綠色的」為真，則要求至少存在一頭綠色的半人馬。這種觀點使得亨佩爾的原命題和換質位命題之間出現了微妙的不對稱性：對於原命題而言，我們必須要求精靈確保至少存在一隻黑烏鴉，而後才能判定命題為真；對於換質位命題而言，精靈必須確保至少存在一隻非黑色的非烏鴉（例如一條紅鯡魚）。在我看來，這個差別不足以影響兩個命題之間本質上的等價關係。發現一隻黑烏鴉或一條紅鯡魚的要求只是走個形式，精靈在兩個任務中的實際工作還是確保非黑色的烏鴉不存在。
絕不要說絕不
一個「否定性假說」是在斷言某物不存在。證明一個否定性假說是極其困難的。（絕不要說絕不。）一個精靈可以檢查非黑色的烏鴉可能出現的每一個地點，從而證明非黑色的烏鴉不存在，但是我們人類不行。
假定你開始一次搜索烏鴉的歷險。你見到了很多黑烏鴉，沒有發現非黑色的烏鴉。最終你對整個任務感到厭倦。你所有的朋友都說，你絕對不會發現一隻非黑色的烏鴉。可什麼時候停止搜索是恰當的呢？
從實際角度來說，停止搜索是遲早的事。此後你會對不存在非黑烏鴉充滿信心。然而，這並沒有從邏輯上嚴格地證明所有烏鴉都是黑色的。為了達到邏輯上的嚴格性，實際上你不得不檢查烏鴉在宇宙中所有可能的藏身之處。顯然這是一個不切實際的要求。
哲學家有一個專門的詞：「超級任務」，這個詞表示一個過程需要無窮多的行動。有些哲學家認為，如果斷定某事需要無窮多的行動，則此事根本是不可知的。達米特（Michael Dummett）給出一個例子：「在北極絕不會有城市。」為了檢驗這個命題，你可以鑽進一台時間機器，調到一個確定的年份，旅行到那一年，檢查一下北極是否有城市。如果沒有，你再把時間機器調到另一個年份，再做一次檢查。你可以知道在任何一個具體的時刻，北極是否有城市，但是這不等於知道北極會（或絕不會）有城市。判定後者需要建立無窮多的事實，完成無窮多的探查。
如果宇宙是無限的，則「不存在非黑色的烏鴉」同樣是一個需要無窮多觀察記錄的命題。我們的精靈有能力完成經驗方面的超級任務，但我們不能。在驗證「所有烏鴉都是黑色的」這個命題時，我們之所以聚焦於發現黑烏鴉，而不是發現非黑色的烏鴉的失敗嘗試，實際原因就在於此。在實際上以搜尋反例為目的的過程中，已發現的黑烏鴉的數量成為「記錄得分」的方法。在未發現非黑色的烏鴉的前提下，已發現的黑烏鴉的數量越大，我們對「不存在非黑色的烏鴉」的信心越充分。尼柯德標準主張，在尋求證實的過程中，以「記錄得分」為目的，「黑烏鴉」是比「非黑色的烏鴉」更好的途徑。為了解決亨佩爾悖論，我們必須探究其原因。
意識流
換一個分析角度。「非烏鴉」和「非黑色的東西」之類的概念是不自然的。在大多數場合，我們首先意識到某物是一隻烏鴉、一條鯡魚或是一把餐刀，我們不會自然地把對像當作「非烏鴉」「非鯡魚」「非餐刀」。在亨佩爾悖論中，只有命題的最初形式（「所有烏鴉都是黑色的」）與人們實際的思考方式相符。
在分別面對亨佩爾的命題的兩種形式時，我們的思維過程迥然不同。當我們見到一隻烏鴉時，我們的思維會自然地如此運轉：
（a）瞧，那是一隻烏鴉。
（b）它是黑色的。
（c）這證實了「所有烏鴉都是黑色的」這一命題。
當我們面對一條紅鯡魚時，為了使觀察和亨佩爾的假設關聯起來，需要更加複雜曲折的意識流：
（a）這是一條紅鯡魚。
（b）它是紅色的。
（c）哦，等一下，烏鴉悖論是怎麼說的？對了，這是一個「非黑色的東西」……
（d）……而且它不是一隻烏鴉。
（e）於是它證實了「所有非黑色的東西都是非烏鴉」這一命題。
（f）……而這一命題等價於「所有烏鴉都是黑色的」。
在第一個例子中，在步驟（a）和步驟（b）之間，我們已經意識到這個對象是烏鴉，而尚未考慮其顏色。在這一刻，原假說面臨考驗。在這個瞬間，烏鴉有可能是其他顏色的，即有可能推翻原命題。但是在第二個例子中，「所有非黑的東西都是非烏鴉」這一命題則從來沒有真正地面臨考驗：在達到（c）以後，我們已經意識到對象是紅色的（「它是非黑色的」這個結論是根據「它是紅色的」這個已知條件推出的），並且它是一條鯡魚（你很可能一直知道）。
為什麼「烏鴉」是一個合理的概念而「非烏鴉」不是呢？這是因為諸烏鴉有許多一致的特徵，而「非烏鴉」則是一個包羅甚廣的詞，一切不符合烏鴉的特徵的東西都可以放進來。「烏鴉」這個概念代表一種身份，而「非烏鴉」這個概念只是一個背景。有個笑話說，某個雕刻家把所有雕得不像原型的作品統統敲碎。雕刻家不用負概念思考，科學家亦然。
從數字的角度對比這兩個概念，則有另一個驚人之處。下面我們對最初的觀點做進一步的探究：這個悖論與烏鴉和非烏鴉的相對數量有關。
無窮小的證實
如果需要考察的對象的數量明顯是有限的，則亨佩爾的推理不必然導致悖論。假定宇宙中存在的全部東西就是七隻密封的箱子。你不知道箱子裡是什麼，不過實際情況是：其中五隻箱子各裝著一隻黑烏鴉，另外兩隻箱子中，一隻裝著一隻白烏鴉，一隻裝著一枚綠山楂。在此情況下，如果打開一隻箱子，發現其中是一枚綠山楂，你會很合理地認為這一發現確實證實了「所有烏鴉都是黑色的」。事實上，為了證明（或反駁）原假說，最迅速的方法就是調查所有非黑色的東西，因為烏鴉有六隻，而非黑色的東西只有兩個。當然，以上模型是人為設定的，需要假定預先知道要調查的東西的數量。實際情況是，我們很少知道要調查的東西的數量，尤其是在調查之初。
更常見的情況是，原假說涉及的對象的數量已知為有限，而其換質位命題則不然。為了確定「所有烏鴉都是黑色的」這個命題的真假，則需要耗費一定的時間、人力和財力，具體消耗取決於烏鴉的數量（或非黑色的東西的數量）。根據康奈爾大學鳥類學實驗室的r·托德·恩斯特倫（R. todd Engstrom）的說法，世界上普通烏鴉的數量在50萬左右。不過非黑色的東西的數量很難確定，那是一個天文數字。
假設有一天，我們發現尼斯湖怪獸確實存在，而且只有一隻，聲吶設備也證實這一物種僅此一隻。我們需要檢驗這一假說：「所有尼斯湖怪獸都是綠色的。」我們可以乘潛艇接近這個怪獸，打開探照燈，通過舷窗向外看，觀察結果是：此怪獸是綠色的。由於不存在其他的尼斯湖怪獸，「所有尼斯湖怪獸都是綠色的」這一假說由此已被證明。
在此例中，一個單獨的檢驗對於假說的意義極為重大。這個假說被一隻非綠色的怪獸駁倒的機會只有一次。如果用此假說的換質位命題進行檢驗，則顯得比烏鴉的例子更荒唐。換質位命題是「所有非綠色的東西都是非尼斯湖怪獸」。假設我們找遍了世界上所有非綠色的東西，並且為其中的每一個配上編號。第42 990 276號是一隻藍色的草蟲，它是非尼斯湖怪獸嗎？是的！因而這是對假說的支持……
這是一條徒勞而迂迴的路線。已經假定只有一隻尼斯湖怪獸，於是潛在反例只有一個。用n表示所有非綠色的東西的數目，第42 990 276號是任選的一個非綠色的東西，它駁倒假說的概率不超過1/n。在可觀察的宇宙中有大約1080個原子（這個數是在1後面加80個0），於是非綠色的東西的數目至少是1080，如果把抽像的東西（例如數）也算作非綠色的對象，那麼非綠色的東西就有無窮多。
以上分析很有說服力，亨佩爾在20世紀40年代最早的沉思中已經有了這種思路。一條紅鯡魚可能確實證實了「所有烏鴉都是黑色的」，但是僅僅是在一個無窮小的程度上提供了證實，因為非黑色的東西太多了。相比之下，檢查烏鴉的顏色顯然是更有效率的證實假說的方法。哲學家尼古拉斯·雷謝爾（Nicholas Rescher）沿著這條思路，計算出以烏鴉或非黑色的東西為檢驗對象，在統計學上建立有效的樣本分別需要花費的檢驗費用。他的結論是：以烏鴉為樣本需1萬美元，以非黑色的對象為樣本需20億美元。
現在還有一個矛盾需要解釋：為什麼一條紅鯡魚既可以證實「所有烏鴉都是黑色的」，又可以證實「所有烏鴉都是白色的」？這個問題可以轉化為與數學中的無窮小類似的問題。一條紅鯡魚為「所有烏鴉都是黑色的」提供的證實相當於「1/無窮大」，分母表示非黑色的對象的數目是無窮大，分子表示一條紅鯡魚是這些對像中的一個。由於這條鯡魚同時也屬於非白色的對象，所以它同樣為「所有烏鴉都是白色的」提供程度為「1/無窮大」的證實。根據定義，1除以無窮大的量等於無窮小，大於0但小於一切普通分數。
「無窮小的證實」是否使這個矛盾變得比較容易接受了？我們應當承認，一條紅鯡魚能夠同時證實「所有烏鴉都是黑色的」和「所有烏鴉都是白色的」，但僅在無窮小的程度上。
微小的真理依然是真理，微小的謊言依然是謊言，矛盾終歸是矛盾，即使只在無窮小的程度上。唯一的解決之道在於，認定在兩個場合證實的程度都嚴格地等於0——就像普通常識所要求的那樣。可是，為什麼一個例證在證實其換質位命題的同時卻沒有證實原假說呢？[5]
「99英尺高的人」悖論
有時候，一個悖論的解決會對另一個悖論的分析有所啟發。保羅·貝倫特（Paul Berent）的「99英尺[6]高的人」悖論是挑戰尼柯德標準的另一個例子。假定我們接受一個合理的觀念：「所有人的身高都不超過100英尺。」我們見到的每一個人都是支持此假說的例子。某一天，我們在馬戲團見到了一個99英尺高的人，當我們離開馬戲團時，我們對於「所有人的身高都不超過100英尺」的信心肯定下降了。這不是很奇怪嗎？這個身高99英尺的人對原假說提供的其實是一個正例。
這個悖論的產生有兩個根源。首先，我們的表達與思想並非總是嚴格相符。有時，言辭本身沒有精確地（通常模糊地）表達我們頭腦中的假說。
情況有可能是這樣：我們的真實意思是，任何人的身高都不會達到異乎尋常的程度，不會比人類的平均身高超出一個數量級（或更多），100英尺這個具體數字反倒不是最重要的。這樣一來，原本不被我們當作反例的99英尺的身高就成為一個反例。
如果使用公制度量衡系統，我們的想法可能表示為：「所有人的身高都不超過30米。」30米換算為英尺是98.43英尺，於是一個99英尺的人就成為一個針對30米假說的反例。有人覺得，身高99英尺的人在一定程度上威脅了「所有人的身高都不超過100英尺」這個語句所表達的思想——這就是咬文嚼字了。
下面討論另一個根源。假定你和一個朋友就「所有人的身高都不超過100英尺」這一假說打賭，一旦發現一個身高100英尺（或以上）的人，你就輸了，要在一家豪華餐館請朋友吃飯。此時，我們關注這個假說的動機不是理智上的探索，而僅僅是設賭。我們只關心嚴格的字面意思，身高99英尺的人接近但沒有達到要求。無論如何，這個人對你不構成威脅，你在打賭中還沒輸。
不過你還是會覺得，這個身高99英尺的人的出現干擾了你的假說為真的概率。這是因為，你知道許多關於人類的成長和變化的事實。根據這些知識，一旦發現一個身高99英尺的人，那麼存在一個身高100英尺的人的可能性上升。幾乎所有的人類的特徵最終都需要重新考察，這個身高99英尺的人表明，就遺傳和身體方面而言，人類身高達到100英尺是有可能的。
下面假定我們發明了一種方法，可以忽略所有無關緊要的信息而檢驗我們的假說。在紐約第五大道的最繁華處，我們在人行道上設置一個傳感器，隨時監測每一個經過的人。在傳感器上方100英尺處安裝一隻電眼，當某個人踩到傳感器時，電眼會判斷一束距人行道100英尺的光線是否被某個高個子的行人遮蔽。用一個記錄裝置追蹤所有行人，尤其是身高100英尺（或以上）的行人的通過情況。
我們通過檢查儀表的讀數獲知結果。讀數「0/310 628」表示共有310 628個行人經過，其中沒有身高100英尺者。這310 628名行人中的每一個都是支持原假說的正例，都在完全相同的程度上提供證實。既然我們關於每個行人的全部信息僅僅是其身高是否低於100英尺，所以，判定某一個行人提供的證實比其他人多是荒唐的。
假如實際情況是，這個99英尺高的人走過第五大道並被儀器記錄，他將和其他人一樣對原假說提供證實，我們看不出差別。由於這個人的經過，儀表的讀數由「0/310 627」變成了「0/310 628」，我們對原假說的信心有一個微小的增長。
顯然，由於一些額外信息的存在（此人身高99英尺，以及我們關於人類基因變異的知識），一個簡單的正例變成了一個顯著的反例。
哲學家卡爾納普（Rudolf Carnap）主張「總體證據要求」。在歸納推理中，必須採用全部可用信息，如果我們只看儀表的讀數，而對這個身高99英尺的人一無所知，那麼這個人是一個有效的正例；但如果我們知道得更多，他就不再是正例。
總體證據要求在科學界引起廣泛深入的思考，因為生物化學、天文學、物理學等許多研究領域都涉及此問題。在研究基因或亞原子粒子時，我們的觀察方法更接近於那個在人行道上監測行人的儀表，而非簡單的觀察。我們不能直接觀察到RNA（核糖核酸）或夸克，更準確地說，我們提出一個具體的問題，而後通過儀器找答案。
假定我們對知識搜集不做不必要的限定，那麼這種觀察方法全無問題。如果我們忽略其他因素，並且我們必須如此，那麼我們可以僅從可用信息的角度出發進行歸納。然而，我們搜集到的信息越完全，我們所做出的歸納就越有效。
烏鴉與總體證據
現在做一個小結。科學通常這樣處理概括陳述——「所有X都是Y」。只有通過歸納，我們才能把感覺經驗概括為可處理的形式。
概括陳述其實是隱蔽的否定性假說——「不存在非Y的X這樣的東西」或者「以上規定沒有反例」。一個概括陳述的換質位命題同樣與這個否定性假說相對應。
在一個無限宇宙中，證明一個否定性假說是一個超級任務。（如果宇宙是有限的，但非常大，那麼要證明一個否定性假說也是一項極其艱巨的工程，並且非常接近於一個超級任務，二者實際上並無差別。）我們無力完成超級任務，對於那些只能通過超級任務得到的知識，我們總是持懷疑的態度，這種懷疑是有道理的。
我們通過正例確立概括陳述。正例由「是Y的X」構成，在亨佩爾的例子中，正例就是黑烏鴉。用這種方法永遠也無法嚴格地證明一個概括陳述，僅僅有可能反駁它（通過一個反例：一隻非黑色的烏鴉）。記錄觀察到的黑烏鴉是一種記錄得分的方法，標示出原假說在何種程度上得到確立。我們覺得每一隻黑烏鴉都構成一個新的例證，在每個例證中，原假說都面臨遭到反駁的風險，但最終還是通過了檢驗。然而，我們不覺得非黑色的非烏鴉有同樣（或類似）的功能（非黑色的非烏鴉是原假說的換質位命題的例證）。當訴諸經驗直覺時，烏鴉問題中的謎團得到了合理的說明。
總體證據要求是解開謎團的關鍵。如果我們對宇宙的瞭解少得可憐，以至於黑烏鴉、非黑色的烏鴉、黑色的非烏鴉、非黑色的非烏鴉對於我們來說僅僅是一些數據點，那麼亨佩爾悖論提出的主張就是恰當的。
但是，我們對烏鴉的瞭解太多了，所以不能得出如上結論。例如，有人發現了一隻患白化病的短嘴鴉（類似於一個99英尺高的人），這是一個非黑色的東西，而且是非烏鴉。然而，這個例證並不支持「所有烏鴉都是黑色的」的說法，恰恰相反，它提出了強烈的質疑。短嘴鴉與烏鴉屬於同一物種，如果短嘴鴉能得白化病，那麼烏鴉很可能也會得。這種背景信息是對證實的否定。
廣而言之，我們知道烏鴉與相關鳥類的相似之處非常多，遠多過它與紅鯡魚、藍草蟲之類的生物的相似之處。考慮到證據的總體性，我們發現，檢驗非黑色的非烏鴉是浪費時間。為了確定「所有烏鴉都是黑色的」這一命題的真假，最好的辦法是觀察烏鴉及其同類，研究生物差異。
通過比較烏鴉的數量與非黑色的東西的數量來討論這個問題，恐怕會誤導大家。重新考察前文的例子，假定宇宙由七隻密封的箱子組成，多數人都會同意把非黑色的非烏鴉作為正例是恰當的。這個例子與真實世界的決定性的差別真的只是數量上的不同嗎？
構想這樣一個宇宙，宇宙包括（比方說）1080只密封的箱子。多數箱子中裝的是黑烏鴉，有幾隻箱子裝著綠山楂，某處也許有一兩隻白烏鴉。我們已經打開了許多箱子，迄今為止，只發現了黑烏鴉和綠山楂。此時，再打開一隻新箱子，發現裡面是一隻黑烏鴉，這個發現證實了「所有烏鴉都是黑色的」——不過僅在一個微小的程度上證實，因為我們雖已打開了很多個箱子，但未打開的箱子仍不止億萬。
如果你打開一個箱子，發現裡面是一枚綠山楂，是否同樣對原假說提供了一個微小的證實呢？首先，這個發現意味著，我們所擔心的潛在的反駁減少了一個；其次，它增強了我們的信心，使我們更加相信箱子裡的對象有某種確定的顏色。你甚至可以提出這樣一個新的假說來解釋你的觀念：「我所見過的所有烏鴉都是黑色的。事實上，所有我見過的非黑色的東西都是山楂，而非烏鴉。山楂是個『支持性的例外』。」
在這個由密封的箱子構成的宇宙中，沒有鳥類學，沒有白化病，也沒有生物變異。簡單地說，不存在關於這個世界如何運行的背景信息。箱子裡裝的東西可以不是真正的烏鴉或山楂，只要放入一些寫著「黑烏鴉」「白烏鴉」之類的文字的紙片就足夠了。這樣一來，這個問題就變成一個形式化的遊戲。如果你打開一隻箱子並發現紙片上寫著「白短嘴鴉」，這對原假說而言依然是一個證實，而且與發現紙片上寫著「綠山楂」相比，我們看不出有什麼差別。
根據本能我們都知道，忽略背景信息是錯誤的，但是（在亨佩爾以前）在關於科學方法的討論中，我們沒有意識到這個重要的事實。我們沒有必要否認一個命題和它的換質位命題等價。（邏輯學家認為否認這一點是不可能的！）亨佩爾簡單地得出結論：我們必須對邏輯變換持謹慎態度。確實，把一個命題變換為換質位命題，結果與原命題等價，但是證實並不總是可以「識別出」邏輯變換。形形色色的方法都可能誤導歸納推論的結果，這是眾多悖論的根源。下文將討論一個更麻煩的歸納悖論。
[1] 鳥類學註釋：「烏鴉」通常指一個物種，拉丁名為「Covus Corax」，遍佈北半球各地。愛倫·坡的詩歌《烏鴉》中說的就是這種鳥。烏鴉為黑色，帶有以綠、紫、藍為主的光暈。墨西哥和美國西南部有一種更小的鳥，名為「Chihuahuan烏鴉」（拉丁名為Corvus Cryptoleucus），這種鳥通體為黑色，在低頭時會露出白色的脖子。我從來沒見過白烏鴉，也沒見過顏色明顯不是黑色的烏鴉，但是，如果這樣的烏鴉確實存在，我也不會感到驚訝。當然，以上內容與當前主題無關。在本註釋以外，我將假定烏鴉的顏色是完全確定的，而且沒有人曾經見過顏色非黑的烏鴉。
[2] 科學哲學家所說的「證實」與日常語言中的「證實」略有不同。在日常語言中，「證實」通常表示確定某一命題為真，但是在哲學語境中，「證實」只表示提供支持。——譯者注
[3] 其實一個觀察結論同時證實兩個相互排斥的假說並不荒唐。考慮此例：A和B是兩個相互獨立的事件，命題p斷定「事件A和事件B都發生」，命題q斷定「事件A發生而事件B不發生」。顯然，兩個命題不可同時為真，因而相互排斥。於是，一個觀察結論同時證實了兩個相互排斥的假說。——譯者注
[4] 勒維耶是巴黎天文台的天文學家，於1846年最先計算出海王星的位置，他的計算直接導致海王星被發現，後任巴黎天文台台長。在發現水星軌道的偏差以後，他先入為主地認定在水星軌道內還有未知行星，並且在未取得任何觀測依據以前就為這顆行星取好了名字——伍爾坎。號稱發現伍爾坎的業餘觀測者的身份是小鎮醫生兼木匠，他所謂的發現幾乎可以肯定是假報，令人驚訝的是，勒維耶作為權威天文學家竟極其輕率地採信了這個所謂的發現。——譯者注
[5] 本節的分析相當精彩，遺憾的是，在討論「一個例證同時證實兩個相互排斥的命題」時，作者犯了錯誤。作者先入為主地認定，這種情況是荒謬的矛盾。請參閱本書第30頁註釋。——譯者注
[6] 1英尺≒0.305米。——譯者注