曲江公蕭遙欣字重暉，是始安王蕭遙光的弟弟。宣帝的哥哥西平太守蕭奉之沒有後代，就把蕭遙欣過繼為曾孫。蕭遙欣在幼年的時候，就體形很高，明帝曾經對江纏說：「遙欣雖然年幼，但看他的神采，很有骨力，必定會成為美才，只是不知道時運怎樣。」安陸昭王蕭緬說：「不擔心他們兄弟不富貴，只是怕蕭緬來不及見到。」說話間慘然而悲哀。
他年齡剛剛七歲時，有一次出了齋房，看見有一個附近的小孩，善於彈射飛鳥，無不應弦墜落。蕭遙欣對他說：「一般的遊戲很多，何必急著彈射小鳥！鳥自己在空中飛翔，對人有什麼妨礙？無趣味地殺害這些生靈，也不要太急迫。」小孩被他的話所感動，就不再彈鳥。當時的少年都喜歡這種遊戲，於是各處也都停止了。
十五六歲的時候，他便博覽經史。二十歲任命為中書郎。明帝入朝輔佐國政，蕭遙欣與始安王蕭遙光等人參與政事，凡是他所談論推薦的，都是優秀人才。因此朝野人士歸向，軒蓋盈門。
延興元年(494)，明帝以蕭遙欣為延州刺史。當時豐城公蕭遙昌出京鎮守壽春，明帝在便殿秘密為他設宴，始安王蕭遙光也在座，明帝淒慘地對蕭遙欣說：「昭王說，不擔心你們兄弟不富貴，而怕來不及見到，現在怎麼樣呢？」於是悲痛得不能自制，君臣都嗚咽不止，侍從們淚如雨下。等到停泊在歐陽岸邊，他忽然對左右的人說：「近來為什麼都不見有人彈射？」左右的人說：「有門生因為彈射而使人感到憫惜，便以此廢棄，到處都停止了。」蕭遙欣笑著說：「我小的時候隨便說說罷了，怎麼因此就斷絕了呢？」建武元年(494)，晉陞官號為西中郎將，封為聞喜縣公，調任荊州刺史，加官都督，改封為曲江縣公。明帝的子弟都還弱小，晉安王蕭寶義有殘疾，所以由蕭遙光主管揚州，居於中心，蕭遙欣住在陝西，在外面，權威都在他的門下。
蕭遙欣喜愛武勇，聚養武士，作為護衛。永泰元年(498)，詔令蕭遙欣以本官兼任雍州刺史、寧蠻校尉，遷移州鎮到襄陽。魏軍退走後，他沒有離開。去世後，追贈為司空，謚號為康公，埋葬用的是王禮。